/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite

Zadanie nr 9427780

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że jeśli k i n są liczbami naturalnymi oraz 1 ≤ k ≤ n , to k(n − k + 1) ≥ n .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształćmy nierówność

2 kn − k + k− n ≥ 0 k(n − k)− (n − k) ≥ 0 (n− k)(k− 1) ≥ 0.

Z podanych założeń wyrażenia w obydwu nawiasach są nieujemne, co dowodzi żądanej nierówności.

Sposób II

Przekształcamy nierówność

kn − k2 + k ≥ n kn − n ≥ k2 − k n(k − 1) ≥ k(k − 1).

Jeżeli k = 1 to nierówność jest oczywiście spełniona. Załóżmy więc, że k > 1 i możemy wtedy podzielić nierówność stronami przez k − 1 . Zostaje nierówność

n ≥ k,

która jest spełniona na mocy podanych założeń.

Wersja PDF