/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite

Zadanie nr 9930847

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita jest nieparzysta, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 8 daje resztę 1.

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to jest postaci n = 2k + 1 . Wtedy

2 2 2 n = (2k + 1) = 4k + 4k + 1 = 4k(k+ 1)+ 1.

Zauważmy teraz, że liczba k(k + 1) jest zawsze parzysta (jako iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych), więc liczba 4k(k+ 1) jest liczbą podzielną przez 8. To oznacza, że liczba n2 rzeczywiście daje resztę 1 przy dzieleniu przez 8.

Sposób II

Zauważmy, że wystarczy wykazać, że liczba

n2 − 1 = (n − 1)(n+ 1)

jest podzielna przez 8. Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to liczby n − 1 i n + 1 są kolejnymi liczbami parzystymi, więc jedna z nich jest podzielnia przez 4. To oznacza, że powyższy iloczyn jest podzielny przez 2 ⋅4 = 8 .

Wersja PDF