Zadanie nr 4726894

Funkcje 2 f(x) = − 4x − 8 , 2 2 g(x) = 2x + 4ax + 2a + 4 i 2 2 h(x ) = 8x + 4b mają tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej , wartości funkcji f(x) , g (x ) i h(x) tworzą w pewnej kolejności trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Pierwszą rzeczą którą musimy zrobić, to ustalić w jakiej kolejności liczby te mogą tworzyć ciąg geometryczny. Sprawdzając -y, widzimy, że f (x) < 0 , g (x ) > 0 i h(x) > 0 dla dowolnego . Jeżeli liczby te mają tworzyć ciąg geometryczny, to musi być q < 0 i f (x) musi być środkowym wyrazem. Mamy zatem

(f(x))2 = g (x)h(x) (− 4x2 − 8)2 = (2x 2 + 4ax + 2a2 + 4)(8x2 + 4b2) / : 4 2 2 2 2 2 2 (2x + 4) = (2x + 4ax + 2a + 4)(2x + b ) 4x4 + 16x 2 + 16 = 4x4 + 8ax3 + (2b2 + 4a2 + 8)x 2 + 4ab 2x+ b2(2a2 + 4) / : 2 4 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2x + 8x + 8 = 2x + 4ax + (b + 2a + 4)x + 2ab x + b (a + 2).

Mamy stąd układ równań

( 4a = 0 |||{ b2 + 2a2 + 4 = 8 | 2ab2 = 0 ||( 2 2 b (a + 2) = 8.

Z tego układu otrzymujemy a = 0 i b2 = 4 . Zatem podane funkcje to f(x) = −4x 2 − 8 , g(x ) = 2x2 + 4 i h(x ) = 8x2 + 16 . Iloraz ciągu utworzonego przez te liczby to − 2 lub 1 − 2 (zależy od tego czy ustawimy je w kolejności g(x),f(x ),h (x) czy h(x),f(x ),g (x) ).
Odpowiedź: − 2 lub − 12