Zadanie nr 2139227
Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba 1 tworzą ze sobą ciąg geometryczny. Oblicz sinus najmniejszego kąta tego trójkąta.
Rozwiązanie
Jeżeli są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to
.
Zatem
![sin β = sin(9 0∘ − α ) = cos α.](https://img.zadania.info/zad/2139227/HzadR3x.gif)
Wiemy więc, że liczby o których mowa, to . Musimy jeszcze ustalić w jakiej kolejności tworzą one ciąg geometryczny. Na pewno jedynka to największy z wyrazów (bo
dla kąta ostrego
). Ponadto sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych, więc z naszego założenia
mamy
![sin α < sin β = cos α.](https://img.zadania.info/zad/2139227/HzadR8x.gif)
Zatem ciąg geometryczny, o którym mowa w treści zadania, to . W ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc mamy równanie
![co s2α = sin α 1 − sin2α = sin α.](https://img.zadania.info/zad/2139227/HzadR10x.gif)
Podstawiamy teraz
![2 1− t = t t2 + t− 1 = 0 Δ = 1 + 4 =√ -5 √ -- − 1− 5 − 1 + 5 t = ---------- ∨ t = ----------. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2139227/HzadR12x.gif)
Pierwiastek ujemny odrzucamy (bo kąt jest ostry) i mamy
.
Odpowiedź: