Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2139227

Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba 1 tworzą ze sobą ciąg geometryczny. Oblicz sinus najmniejszego kąta tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli α < β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to  ∘ α + β = 90 .


PIC


Zatem

sin β = sin(9 0∘ − α ) = cos α.

Wiemy więc, że liczby o których mowa, to sin α,cos α,1 . Musimy jeszcze ustalić w jakiej kolejności tworzą one ciąg geometryczny. Na pewno jedynka to największy z wyrazów (bo sinx < 1 dla kąta ostrego x ). Ponadto sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych, więc z naszego założenia α < β mamy

sin α < sin β = cos α.

Zatem ciąg geometryczny, o którym mowa w treści zadania, to (sin α,cos α,1) . W ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc mamy równanie

co s2α = sin α 1 − sin2α = sin α.

Podstawiamy teraz t = sinα

 2 1− t = t t2 + t− 1 = 0 Δ = 1 + 4 =√ -5 √ -- − 1− 5 − 1 + 5 t = ---------- ∨ t = ----------. 2 2

Pierwiastek ujemny odrzucamy (bo kąt α jest ostry) i mamy  √- sinα = −1+--5- 2 .  
Odpowiedź: − 1+√ 5 ---2---

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!