Zadanie nr 2882690
O trapezie wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków
– w podanej kolejności – tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez
jest rombem.
Rozwiązanie
Szkicujemy trapez.
Ponieważ długości boków trapezu tworzą ciąg geometryczny, to możemy je oznaczyć przez dla pewnych
. Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, to sumy przeciwległych boków są sobie równe. Mamy zatem
![a + aq 2 = aq+ aq3 a(1 + q 2) = aq(1+ q2) / : a (1+ q 2) 1 = q.](https://img.zadania.info/zad/2882690/HzadR3x.gif)
To oznacza, że wszystkie boki czworokąta mają tę samą długość, czyli jest to romb.
Zauważmy, że w rozwiązaniu nie miało żadnego znaczenia, że czworokąt jest trapezem.