Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2882690

O trapezie ABCD wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków AB ,BC ,CD ,AD – w podanej kolejności – tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez ABCD jest rombem.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy trapez.


PIC


Ponieważ długości boków trapezu tworzą ciąg geometryczny, to możemy je oznaczyć przez a ,aq,aq2,aq3 dla pewnych a,q > 0 . Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, to sumy przeciwległych boków są sobie równe. Mamy zatem

a + aq 2 = aq+ aq3 a(1 + q 2) = aq(1+ q2) / : a (1+ q 2) 1 = q.

To oznacza, że wszystkie boki czworokąta ABCD mają tę samą długość, czyli jest to romb.

Zauważmy, że w rozwiązaniu nie miało żadnego znaczenia, że czworokąt ABCD jest trapezem.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!