Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3029556

Długości boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu ma długość 1. Krótsza podstawa trapezu jest krótsza od drugiego z ramion. Oblicz długość dłuższej podstawy.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy trapez.


PIC


Ponieważ długości boków trapezu tworzą ciąg geometryczny, to możemy je oznaczyć przez 1,q,q2,q3 dla pewnego q > 0 . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym EBC .

12 + (q 3 − q)2 = (q2)2 3 2 4 (q − q ) = q − 1 q2(q2 − 1)2 = (q2 − 1)(q2 + 1).

Zauważmy teraz, że jeżeli q = 1 , to trapez jest kwadratem i nie spełnia opisu podanego w treści zadania. W takim razie q ⁄= 1 i możemy powyższe równanie podzielić przez q2 − 1 . Pozostanie równanie

 2 2 2 q (q − 1) = q + 1 4 2 q − 2q − 1 = 0.

Podstawmy  2 t = q .

2 t − 2t − 1 = 0 Δ = 4 + 4 = 8 √ -- √ -- √ -- √ -- t = 2−--2--2-= 1 − 2 < 0 lub t = 2-+-2--2-= 1+ 2. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy  √ -- q2 = t = 1+ 2 , czyli  ∘ ----√--- q = 1+ 2 . Stąd

 ( ∘ -------) ∘ -------- 3 √ --3 √ -- √ -- q = 1+ 2 = (1+ 2) 1 + 2.

 
Odpowiedź:  √ --∘ ----√--- (1 + 2) 1+ 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!