/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/W geometrii

Zadanie nr 3029556

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Długości boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu ma długość 1. Krótsza podstawa trapezu jest krótsza od drugiego z ramion. Oblicz długość dłuższej podstawy.

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez.

PIC

Ponieważ długości boków trapezu tworzą ciąg geometryczny, to możemy je oznaczyć przez 1,q,q2,q3 dla pewnego q > 0 . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym EBC .

12 + (q 3 − q)2 = (q2)2 3 2 4 (q − q ) = q − 1 q2(q2 − 1)2 = (q2 − 1)(q2 + 1).

Zauważmy teraz, że jeżeli q = 1 , to trapez jest kwadratem i nie spełnia opisu podanego w treści zadania. W takim razie q ⁄= 1 i możemy powyższe równanie podzielić przez q2 − 1 . Pozostanie równanie

2 2 2 q (q − 1) = q + 1 4 2 q − 2q − 1 = 0.

Podstawmy 2 t = q .

2 t − 2t − 1 = 0 Δ = 4 + 4 = 8 √ -- √ -- √ -- √ -- t = 2−--2--2-= 1 − 2 < 0 lub t = 2-+-2--2-= 1+ 2. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy √ -- q2 = t = 1+ 2 , czyli ∘ ----√--- q = 1+ 2 . Stąd

( ∘ -------) ∘ -------- 3 √ --3 √ -- √ -- q = 1+ 2 = (1+ 2) 1 + 2.

 
Odpowiedź: √ --∘ ----√--- (1 + 2) 1+ 2

Wersja PDF