Zadanie nr 3029556
Długości boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu ma długość 1. Krótsza podstawa trapezu jest krótsza od drugiego z ramion. Oblicz długość dłuższej podstawy.
Rozwiązanie
Szkicujemy trapez.
Ponieważ długości boków trapezu tworzą ciąg geometryczny, to możemy je oznaczyć przez dla pewnego
. Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym
.
![12 + (q 3 − q)2 = (q2)2 3 2 4 (q − q ) = q − 1 q2(q2 − 1)2 = (q2 − 1)(q2 + 1).](https://img.zadania.info/zad/3029556/HzadR4x.gif)
Zauważmy teraz, że jeżeli , to trapez jest kwadratem i nie spełnia opisu podanego w treści zadania. W takim razie
i możemy powyższe równanie podzielić przez
. Pozostanie równanie
![2 2 2 q (q − 1) = q + 1 4 2 q − 2q − 1 = 0.](https://img.zadania.info/zad/3029556/HzadR8x.gif)
Podstawmy .
![2 t − 2t − 1 = 0 Δ = 4 + 4 = 8 √ -- √ -- √ -- √ -- t = 2−--2--2-= 1 − 2 < 0 lub t = 2-+-2--2-= 1+ 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/3029556/HzadR10x.gif)
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy , czyli
. Stąd
![( ∘ -------) ∘ -------- 3 √ --3 √ -- √ -- q = 1+ 2 = (1+ 2) 1 + 2.](https://img.zadania.info/zad/3029556/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: