/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/W geometrii

Zadanie nr 3029556

Długości boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu ma długość 1. Krótsza podstawa trapezu jest krótsza od drugiego z ramion. Oblicz długość dłuższej podstawy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez.


PIC


Ponieważ długości boków trapezu tworzą ciąg geometryczny, to możemy je oznaczyć przez 1,q,q2,q3 dla pewnego q > 0 . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym EBC .

12 + (q 3 − q)2 = (q2)2 3 2 4 (q − q ) = q − 1 q2(q2 − 1)2 = (q2 − 1)(q2 + 1).

Zauważmy teraz, że jeżeli q = 1 , to trapez jest kwadratem i nie spełnia opisu podanego w treści zadania. W takim razie q ⁄= 1 i możemy powyższe równanie podzielić przez q2 − 1 . Pozostanie równanie

 2 2 2 q (q − 1) = q + 1 4 2 q − 2q − 1 = 0.

Podstawmy  2 t = q .

2 t − 2t − 1 = 0 Δ = 4 + 4 = 8 √ -- √ -- √ -- √ -- t = 2−--2--2-= 1 − 2 < 0 lub t = 2-+-2--2-= 1+ 2. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy  √ -- q2 = t = 1+ 2 , czyli  ∘ ----√--- q = 1+ 2 . Stąd

 ( ∘ -------) ∘ -------- 3 √ --3 √ -- √ -- q = 1+ 2 = (1+ 2) 1 + 2.

 
Odpowiedź:  √ --∘ ----√--- (1 + 2) 1+ 2

Wersja PDF
spinner