Zadanie nr 3872746
W trójkącie prostokątnym długości wysokości i środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego oraz długość przeciwprostokątnej tworzą ciąg geometryczny, w którym iloczyn wyrazów jest równy 8. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Ponieważ środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, to długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego to długość promienia okręgu opisanego, czyli . Wiemy zatem, że liczby
![c- h < 2 < c](https://img.zadania.info/zad/3872746/HzadR2x.gif)
tworzą ciąg geometryczny oraz iloczyn tych liczb jest równy 8. W szczególności iloraz tego ciągu geometrycznego musi być równy 2, czyli oraz warunek z iloczynem daje nam
![c- c- 4 ⋅ 2 ⋅ c = 8 ⇒ c = 4.](https://img.zadania.info/zad/3872746/HzadR4x.gif)
Stąd i porównując wzory na pole mamy
![1-ab = 1-ch ⇒ ab = 4. 2 2](https://img.zadania.info/zad/3872746/HzadR6x.gif)
Zastanówmy się co musimy policzyć. Promień okręgu wpisanego wyliczymy ze wzoru
![1 P = -(a + b + c)r 2 1ch = 1(a + b + c)r 2 2 4 = (a + b + 4)r r = ----4----. a + b + 4](https://img.zadania.info/zad/3872746/HzadR7x.gif)
Aby dokończyć ten rachunek musimy wyliczyć . To nie jest jednak trudne, bo znamy
(twierdzenie Pitagorasa) i
. Liczymy
![(a+ b )2 = a2 + b2 + 2ab = c2 + 8 = 24 √ -- a+ b = 2 6.](https://img.zadania.info/zad/3872746/HzadR11x.gif)
Stąd
![√ -- √ -- r = ----4---- = --√-4---- = √--2----= 2(--6-−-2)-= 6− 2. a+ b+ 4 2 6+ 4 6 + 2 6− 4](https://img.zadania.info/zad/3872746/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: