/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/W geometrii

Zadanie nr 4379947

Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny, w którym największy wyraz jest o 5 większy od wyrazu najmniejszego. Objętość prostopadłościanu jest równa 216. Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Niech a oznacza długość najkrótszej krawędzi. Wtedy pozostałe krawędzie mają długości aq i aq 2 dla pewnego q > 1 . Mamy podaną objętość prostopadłościanu, więc

√ ---- 216 = a⋅aq ⋅aq2 = a3q3 = (aq)3 ⇒ aq = 3 216 = 6.

Ponadto

2 5 = aq − a = 6q − a.

Podstawiamy teraz a = 6q − 5 do równości aq = 6 .

6 = aq = (6q − 5)q = 6q2 − 5q 0 = 6q2 − 5q− 6 Δ = 25+ 144 = 1 69 5-−-13- 5-+-13- 3- q = 12 < 0 lub q = 12 = 2.

Pozostałe dwie krawędzie prostopadłościanu mają więc długości:

aq2 = aq ⋅q = 6 ⋅ 3-= 9 2 a = aq2 − 5 = 9 − 5 = 4.

 
Odpowiedź: 4, 6, 9

Wersja PDF