Zadanie nr 4379947
Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny, w którym największy wyraz jest o 5 większy od wyrazu najmniejszego. Objętość prostopadłościanu jest równa 216. Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Niech oznacza długość najkrótszej krawędzi. Wtedy pozostałe krawędzie mają długości
i
dla pewnego
. Mamy podaną objętość prostopadłościanu, więc
![√ ---- 216 = a⋅aq ⋅aq2 = a3q3 = (aq)3 ⇒ aq = 3 216 = 6.](https://img.zadania.info/zad/4379947/HzadR5x.gif)
Ponadto
![2 5 = aq − a = 6q − a.](https://img.zadania.info/zad/4379947/HzadR6x.gif)
Podstawiamy teraz do równości
.
![6 = aq = (6q − 5)q = 6q2 − 5q 0 = 6q2 − 5q− 6 Δ = 25+ 144 = 1 69 5-−-13- 5-+-13- 3- q = 12 < 0 lub q = 12 = 2.](https://img.zadania.info/zad/4379947/HzadR9x.gif)
Pozostałe dwie krawędzie prostopadłościanu mają więc długości:
![aq2 = aq ⋅q = 6 ⋅ 3-= 9 2 a = aq2 − 5 = 9 − 5 = 4.](https://img.zadania.info/zad/4379947/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: 4, 6, 9