Zadanie nr 5917492
Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o sumie 19. Objętość prostopadłościanu jest równa 216. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Z założeń otrzymujemy układ równań
![{ a+ b+ c = 19 abc = 216](https://img.zadania.info/zad/5917492/HzadR1x.gif)
Wiemy ponadto, że liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
i
dla pewnej liczby
.
Przekształćmy drugie równanie
![216 = abc = a ⋅aq⋅aq 2 = a3q3 6 aq = 6 ⇒ a = --. q](https://img.zadania.info/zad/5917492/HzadR6x.gif)
Wynik podstawiamy do pierwszego równania
![6 19 = a + b + c = a + aq + aq2 = a(1+ q+ q 2) = -(1 + q + q2) q 6q2 + 6q + 6 − 19q -------------------= 0 q 6q2-−-13q-+-6- q = 0.](https://img.zadania.info/zad/5917492/HzadR7x.gif)
Liczymy wyróżnik i pierwiastki
![2 2 Δ = (− 13) − 4 ⋅6 ⋅6 = 169 − 14 4 = 25 = 5 13 − 5 2 13+ 5 3 q = --12---= 3- lub q = --12---= 2.](https://img.zadania.info/zad/5917492/HzadR8x.gif)
Zatem
![6- 6- a = 2 = 9 lub a = 3 = 4. 3 2](https://img.zadania.info/zad/5917492/HzadR9x.gif)
Teraz już łatwo obliczyć pole całkowite
![P = 2ab+ 2ac+ 2bc = 2a ⋅aq + 2a ⋅aq2 + 2aq ⋅aq2 = c = 2a2q+ 2a2q2 + 2a2q3.](https://img.zadania.info/zad/5917492/HzadR10x.gif)
Podstawiamy wyznaczone wartości
![( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 Pc = 2⋅9 ⋅--+ 2⋅9 ⋅ -- + 2⋅ 9 ⋅ -- = 228 3 ( 3) ( 3 ) 2 3 2 3 2 2 3 3 Pc = 2⋅4 ⋅2-+ 2⋅4 ⋅ 2- + 2⋅ 4 ⋅ 2- = 228.](https://img.zadania.info/zad/5917492/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: