Zadanie nr 7911089
Sinus pewnego kąta ostrego , liczba
oraz cosinus tego samego kąta
tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Oblicz sumę
.
Rozwiązanie
Jeżeli trzy liczby i
tworzą ciąg geometryczny to
.
Sposób I
Mamy równość
![( ) 2- 2 3 = sin α⋅co sα 4-= sin α⋅ cosα. 9](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR3x.gif)
Korzystamy teraz z tożsamości
![(sinα + co sα)2 = sin2 α+ 2sin αco sα + cos2 α = 1 + 2sin αco sα.](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR4x.gif)
Ponieważ jest kątem ostrym mamy
![√ ---------------- sin α + cos α = 1 + 2 sin α cosα ∘ ------ 8- sin α + cos α = 1+ 9 √ --- sin α + cos α = --1-7. 3](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR6x.gif)
Sposób II
Będziemy korzystać ze wzorów
![sin 2α = 2sin αco sα 2 2 cos2 α = 2 cos α − 1 = 1 − 2 sin α](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR7x.gif)
Mamy równanie
![( ) 2 2- 3 = sinα ⋅cos α / ⋅2 8-= 2 sin α ⋅cos α 9 8- 9 = sin 2α.](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR8x.gif)
Dalszy plan działania jest następujący, z jedynki trygonometrycznej wyliczymy a ze wzorów na
wyliczymy
i
. Liczymy
![cos22α = 1− sin 22α cos22α = 1− 64- 81 2 17 cos 2α = --- 81](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR13x.gif)
Mamy zatem lub
(pomimo, że
jest kątem ostrym,
już taki być nie musi, nie wiemy więc czy cosinus jest dodatni). Mamy wtedy odpowiednio
![{ √-- sin 2α = 12 (1 − cos 2α) = 9−1817- 2 1 9+√-17- { cos α = 2 (1 + co s2α) = 1√8- 2 1 9+--17- sin α = 2 (1 − cos 2α) = 18√ -- cos2α = 12 (1 + co s2α) = 9−1817-](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR18x.gif)
W każdym z przypadków
![∘ --------- ∘ --------- √ --- √ --- sin α + cos α = 9+----17-+ 9−----17- 18 18](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR19x.gif)
No i mamy ciekawe ćwiczenie, żeby sprawdzić, że ten wynik pokrywa się z tym co uzyskaliśmy poprzednio.
Sposób III
Oznaczmy . Wtedy
. Mamy równanie
![( ) 2 ∘ ------- 2- = x 1− x2 ()2 3 16 ---= x2(1− x2) 81 4 2 81x − 81x + 16 = 0](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR22x.gif)
Jest to zwykłe równanie dwukwadratowe, podstawiamy i mamy
, skąd
![√ --- √ --- 81 − 9 1 7 9 − 1 7 t1 = ----------- = --------- 2 ⋅8√1--- 1√8--- 81-+-9--1-7 9-+---1-7 t2 = 2 ⋅81 = 1 8](https://img.zadania.info/zad/7911089/HzadR25x.gif)
Każdy z przypadków prowadzi do takiego samego wyniku jak w sposobie II.
Odpowiedź: