/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/W geometrii

Zadanie nr 7911089

Sinus pewnego kąta ostrego α , liczba 2 3 oraz cosinus tego samego kąta α tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Oblicz sumę sin α + cos α .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli trzy liczby a,b i c tworzą ciąg geometryczny to 2 b = ac .

Sposób I

Mamy równość

( ) 2- 2 3 = sin α⋅co sα 4-= sin α⋅ cosα. 9

Korzystamy teraz z tożsamości

(sinα + co sα)2 = sin2 α+ 2sin αco sα + cos2 α = 1 + 2sin αco sα.

Ponieważ α jest kątem ostrym mamy

√ ---------------- sin α + cos α = 1 + 2 sin α cosα ∘ ------ 8- sin α + cos α = 1+ 9 √ --- sin α + cos α = --1-7. 3

Sposób II

Będziemy korzystać ze wzorów

sin 2α = 2sin αco sα 2 2 cos2 α = 2 cos α − 1 = 1 − 2 sin α

Mamy równanie

( ) 2 2- 3 = sinα ⋅cos α / ⋅2 8-= 2 sin α ⋅cos α 9 8- 9 = sin 2α.

Dalszy plan działania jest następujący, z jedynki trygonometrycznej wyliczymy co s2α a ze wzorów na cos 2α wyliczymy sinα i cos α . Liczymy

cos22α = 1− sin 22α cos22α = 1− 64- 81 2 17 cos 2α = --- 81

Mamy zatem √-17 cos 2α = 9 lub √-17 cos 2α = − 9 (pomimo, że α jest kątem ostrym, 2α już taki być nie musi, nie wiemy więc czy cosinus jest dodatni). Mamy wtedy odpowiednio

{ √-- sin 2α = 12 (1 − cos 2α) = 9−1817- 2 1 9+√-17- { cos α = 2 (1 + co s2α) = 1√8- 2 1 9+--17- sin α = 2 (1 − cos 2α) = 18√ -- cos2α = 12 (1 + co s2α) = 9−1817-

W każdym z przypadków

∘ --------- ∘ --------- √ --- √ --- sin α + cos α = 9+----17-+ 9−----17- 18 18

No i mamy ciekawe ćwiczenie, żeby sprawdzić, że ten wynik pokrywa się z tym co uzyskaliśmy poprzednio.

Sposób III

Oznaczmy x = sin α . Wtedy √ ------- co sα = 1− x 2 . Mamy równanie

( ) 2 ∘ ------- 2- = x 1− x2 ()2 3 16 ---= x2(1− x2) 81 4 2 81x − 81x + 16 = 0

Jest to zwykłe równanie dwukwadratowe, podstawiamy t = x2 i mamy Δ = 812 − 81 ⋅64 = 8 1(81− 64) = 81 ⋅17 , skąd

√ --- √ --- 81 − 9 1 7 9 − 1 7 t1 = ----------- = --------- 2 ⋅8√1--- 1√8--- 81-+-9--1-7 9-+---1-7 t2 = 2 ⋅81 = 1 8

Każdy z przypadków prowadzi do takiego samego wyniku jak w sposobie II.  
Odpowiedź: ∘ ------ ∘ ------ 9+√-17- 9−√-17 √-17- 18 + 18 = 3

Wersja PDF