Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami... Zadania.info: rozwiązanie zadania, W geometrii, 8635341

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/W geometrii

Zadanie nr 8635341

Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy boki trójkąta przez $a,b,c$ . Ponieważ będziemy chcieli napisać warunek, że są to kolejne wyrazy rosnącego ciągu geometrycznego, to ustalmy ich kolejność, tzn. załóżmy, że $a < b < c$ . Mamy zatem dwa równania

{ a2 + b2 = c2 2 b = ac.

Pierwsze z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugie to podstawowa własność ciągu geometrycznego. W pierwszej chwili można się przestraszyć, bo niewiadome są trzy a równania tylko dwa. Ale my nie chcemy wyliczyć $a,b,c$ (zresztą nie da się tego zrobić) tylko iloraz dwóch kolejnych, a to duża różnica. Mając to na uwadze, podstawmy do pierwszego równania $b 2 = ac$ i przekształćmy otrzymane równanie żeby wyliczyć $-c a$ .

a2 + ac = c2 / : a2 ( )2 1 + c-= c- . a a

Podstawiamy teraz $c t = a$ i dostajemy równanie kwadratowe $2 t − t− 1 = 0$ , które ma pierwiastki $√ - t = 1−--5 1 2$ i $√ - t = 1+--5 2 2$ . Bierzemy drugi, bo ciąg ma być rosnący. Zatem

√ -- c-= 1-+---5-. a 2

Czy to jest szukany iloraz? Niezupełnie, wpadliśmy w pułapkę, którą sami na siebie zastawiliśmy, $c$ i $a$ to nie są kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, tylko wyrazy $n + 2$ i $n$ , czyli coś w stylu $a qn+ 2 1$ i $a qn 1$ . W takim razie, to co wyliczyliśmy to jest $q2$ , a $∘ --√--- q = 1+2-5$ .

Sposób II

Załóżmy, że ciąg geometryczny z treści zadania ma postać $n an = aq$ , $n ≥ 0$ i niech $ak,ak+ 1,ak+ 2$ będą długościami boków trójkąta prostokątnego dla pewnego $k ≥ 0$ . Z twierdzenia Pitagorasa