Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8635341

Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy boki trójkąta przez a,b,c . Ponieważ będziemy chcieli napisać warunek, że są to kolejne wyrazy rosnącego ciągu geometrycznego, to ustalmy ich kolejność, tzn. załóżmy, że a < b < c . Mamy zatem dwa równania

{ a2 + b2 = c2 2 b = ac.

Pierwsze z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugie to podstawowa własność ciągu geometrycznego. W pierwszej chwili można się przestraszyć, bo niewiadome są trzy a równania tylko dwa. Ale my nie chcemy wyliczyć a,b,c (zresztą nie da się tego zrobić) tylko iloraz dwóch kolejnych, a to duża różnica. Mając to na uwadze, podstawmy do pierwszego równania b 2 = ac i przekształćmy otrzymane równanie żeby wyliczyć -c a .

a2 + ac = c2 / : a2 ( )2 1 + c-= c- . a a

Podstawiamy teraz  c t = a i dostajemy równanie kwadratowe  2 t − t− 1 = 0 , które ma pierwiastki  √ - t = 1−--5 1 2 i  √ - t = 1+--5 2 2 . Bierzemy drugi, bo ciąg ma być rosnący. Zatem

 √ -- c-= 1-+---5-. a 2

Czy to jest szukany iloraz? Niezupełnie, wpadliśmy w pułapkę, którą sami na siebie zastawiliśmy, c i a to nie są kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, tylko wyrazy n + 2 i n , czyli coś w stylu a qn+ 2 1 i a qn 1 . W takim razie, to co wyliczyliśmy to jest q2 , a  ∘ --√--- q = 1+2-5 .

Sposób II

Załóżmy, że ciąg geometryczny z treści zadania ma postać  n an = aq , n ≥ 0 i niech ak,ak+ 1,ak+ 2 będą długościami boków trójkąta prostokątnego dla pewnego k ≥ 0 . Z twierdzenia Pitagorasa

a2k + a2k+1 = a2k+ 2 k 2 k+ 12 k+2 2 (aq ) + (aq ) = (aq ) a2q2k + a2q2kq2 = a2q2kq4 / : a2q2k 1 + q2 = q 4.

Otrzymane równanie dwukwadratowe rozwiązujemy standardowo podstawiając q2 = t . Tak jak w poprzednim sposobie, otrzymujemy

 √ -- 1+ 5 q2 = -------. 2

 
Odpowiedź:  ∘ --√--- q = 1+2-5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!