Zadanie nr 8635341

Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy boki trójkąta przez a,b,c . Ponieważ będziemy chcieli napisać warunek, że są to kolejne wyrazy rosnącego ciągu geometrycznego, to ustalmy ich kolejność, tzn. załóżmy, że a < b < c . Mamy zatem dwa równania

{ a2 + b2 = c2 2 b = ac.

Pierwsze z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugie to podstawowa własność ciągu geometrycznego. W pierwszej chwili można się przestraszyć, bo niewiadome są trzy a równania tylko dwa. Ale my nie chcemy wyliczyć a,b,c (zresztą nie da się tego zrobić) tylko iloraz dwóch kolejnych, a to duża różnica. Mając to na uwadze, podstawmy do pierwszego równania b 2 = ac i przekształćmy otrzymane równanie żeby wyliczyć -c a .

a2 + ac = c2 / : a2 ( )2 1 + c-= c- . a a

Podstawiamy teraz c t = a i dostajemy równanie kwadratowe 2 t − t− 1 = 0 , które ma pierwiastki √ - t = 1−--5 1 2 i √ - t = 1+--5 2 2 . Bierzemy drugi, bo ciąg ma być rosnący. Zatem

√ -- c-= 1-+---5-. a 2

Czy to jest szukany iloraz? Niezupełnie, wpadliśmy w pułapkę, którą sami na siebie zastawiliśmy, i to nie są kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, tylko wyrazy n + 2 i , czyli coś w stylu a qn+ 2 1 i a qn 1 . W takim razie, to co wyliczyliśmy to jest , a ∘ --√--- q = 1+2-5 .

Sposób II

Załóżmy, że ciąg geometryczny z treści zadania ma postać n an = aq , n ≥ 0 i niech ak,ak+ 1,ak+ 2 będą długościami boków trójkąta prostokątnego dla pewnego k ≥ 0 . Z twierdzenia Pitagorasa