/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/W geometrii

Zadanie nr 9544094

Długości boków (a ,b ,c) trójkąta tworzą ciąg geometryczny, przy czym kąt trójkąta leżący naprzeciwko boku długości b ma miarę 60∘ . Oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Naszkicujmy trójkąt.

PIC

Wiemy, że liczby (a,b,c) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli b2 = ac . Piszemy teraz twierdzenie cosinusów.

b2 = a2 + c2 − 2ac cos60 ∘ 2 2 ac = a + c − ac 0 = (a− c)2.

Zatem a = c . Stąd b = a = c , co oznacza, że trójkąt jest równoboczny.  
Odpowiedź: ∘ ∘ 60 ,6 0

Wersja PDF