Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9740679

Długości boków trójkąta tworzą ciąg geometryczny. Jaki warunek spełniać musi iloraz tego ciągu?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech  2 a,b = aq,c = aq będą długościami boków trójkąta, które tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q . Jeżeli założymy, że q ≥ 1 , to a ≤ b ≤ c i na mocy nierówności trójkąta, taki trójkąt istnieje wtedy i tylko wtedy gdy

a + b > c / : a 1 + b-> c- a a 1 + q > q2 2 0 > q − q − 1.

Dalej, Δ = 1 + 4 = 5 ,  √ - q1 = 1−2-5 ,  √ - q2 = 1+2-5 . Zatem  ⟨ √ -) q ∈ 1, 1+2-5 .

Jeżeli natomiast q < 1 , to możemy zastosować powyższe rozumowanie do boków c ≤ b ≤ a , które tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1 q > 1 . Mamy wtedy

 ( √ -) ( ) ( √ -- ) 1- 1-+---5- --1--- --5-−-1- q ∈ 1, 2 ⇒ q ∈ 1+√-5,1 = 2 ,1 . 2

 
Odpowiedź:  ( √- √ -) -5−-1 1+--5 q ∈ 2 , 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!