Zadanie nr 9785666
Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o ilorazie , a cosinus jednego z jego kątów jest równy
.
- Wyznacz
.
- Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość
, oblicz pole tego trójkąta.
Rozwiązanie
Naszkicujmy trójkąt.
Długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc są postaci dla pewnego
. Wiemy ponadto, że ciąg ten jest rosnący, czyli
. To oznacza, że podany
jest ujemny, czyli kąt
jest rozwarty. W takim razie musi on leżeć naprzeciwko najdłuższego boku trójkąta, czyli boku długości
.
- Piszemy twierdzenie cosinusów.
Podstawiamy teraz
.
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy
, czyli
.
Odpowiedź: - Aby wykorzystać informację o długości promienia okręgu opisanego, napiszemy twierdzenie sinusów. Zanim jednak to zrobimy obliczmy
.
Zatem na mocy twierdzenia sinusów mamy
Teraz możemy obliczyć pole trójkąta korzystając ze wzoru z sinusem.
Odpowiedź: