Zadanie nr 1859383
Rozważamy nieskończone ciągi geometryczne o ilorazie , w których kwadrat drugiego wyrazu jest dodatni i równy sumie wyrazów: drugiego, trzeciego i czwartego. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego spośród rozpatrywanych ciągów, którego suma wszystkich wyrazów jest najmniejsza. Oblicz tę sumę.
Rozwiązanie
Zapiszmy warunek opisany w treści zadania.
![2 a2 = a2 + a3 + a4 (a1q)2 = a1q + a1q2 + a1q3 / : a1q2 2 a = 1-+-q-+-q- . 1 q](https://img.zadania.info/zad/1859383/HzadR0x.gif)
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest więc równa
![1+q+q2- 2 S (q) = --a1--= ---q---= 1-+-q+--q-. 1 − q 1− q q − q2](https://img.zadania.info/zad/1859383/HzadR2x.gif)
Dziedziną tej funkcji jest przedział (bo z założenia
). Liczymy pochodną tej funkcji
![′ (1-+-q-+-q2)′ ⋅(q-−-q2)-−-(1-+-q-+-q2)⋅-(q−-q2)′ S (q) = (q − q2)2 = (1-+-2q)(q-−-q2)-−-(1-+-q-+-q2)(1-−-2q) = (q − q2)2 = 2 2 3 2 2 3 2 = q-−-q--+-2q--−-2q--−-(1-+-q-+-q-−--2q−--2q-−--2q-) = 2q-+--2q−--1. (q− q2)2 (q − q2)2](https://img.zadania.info/zad/1859383/HzadR5x.gif)
Rozkładamy teraz trójmian w liczniku.
![Δ = 4 + 8 = √12- √ -- √ -- √ -- − 2− 2 3 1 + 3 − 2 + 2 3 3 − 1 q = -----------= − --------< 0 lub q = ----------- = --------. 4 2 4 2](https://img.zadania.info/zad/1859383/HzadR6x.gif)
Zatem
![( √-) ( √- ) 2 q + 1+2-3 q − -32−1- S′(q) = ---------------2-2-------- (q− q )](https://img.zadania.info/zad/1859383/HzadR7x.gif)
i pochodna jest ujemna w przedziale oraz dodatnia w przedziale
. To oznacza, że funkcja
jest malejąca w przedziale
i rosnąca w
. Najmniejszą wartość sumy otrzymamy więc dla
. Pierwszy wyraz ciągu jest wtedy równy
![√ -- 1 + q + q2 1 2 3− 1 a1 = ---------- = --+ 1 + q = √-------+ 1+ --------= √ -q q √ -- 3 −√ 1- √2-- √ -- 2( 3 + 1) 3− 1 2 3+ 2 + 2 + 3 − 1 3 3 + 3 = -----------+ 1 + --------= -----------------------= ---------. 3− 1 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/1859383/HzadR14x.gif)
Suma ciągu jest równa
![3√-3+3- √ -- √ -- √ -- S (q) = --a1--= ----2√-----= 3--3+√--3-= 3-(--3+--1)(3+----3) = 1 − q 1− --3−-1 3 − 3 9− 3 √ -- 2 √ -- 3(4--3-+-3-+-3-) 4--3-+-6- √ -- = 6 = 2 = 2 3 + 3.](https://img.zadania.info/zad/1859383/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: ,
,