Zadanie nr 1942915
W trójkąt równoboczny o boku długości 1 wpisano koło. Prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta
i styczne do koła wpisanego. Proste te odcinają od trójkąta
trzy trójkąty równoboczne. W każdy z nich wpisujemy koło i postępujemy analogicznie jak z kołem wpisanym w trójkąt
. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich otrzymanych w ten sposób kół.
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że pierwsze z kół ma promień
![√ -- √ -- r = 1-⋅ a-3-= --3- 3 2 6](https://img.zadania.info/zad/1942915/HzadR0x.gif)
i pole
![2 π P 1 = πr = --. 12](https://img.zadania.info/zad/1942915/HzadR1x.gif)
Spróbujmy teraz zrozumieć jak promień kolejnego koła powstaje z promienia poprzedniego koła.
Zauważmy, że ponieważ średnica okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi wysokości trójkąta
, trójkąt
jest trzy razy mniejszy od trójkąta
. W takim razie pole koła wpisanego w ten trójkąt jest dziewięć razy mniejsze od pola koła wpisanego w trójkąt
. Są jednak trzy koła tej wielkości, więc suma pól
kół otrzymanych w kolejnym kroku jest równa
![P2 = 3⋅ 1P1 = 1P1. 9 3](https://img.zadania.info/zad/1942915/HzadR10x.gif)
I tak dalej, w każdym kolejnym kroku suma pól będzie zmniejszać się o 3. W takim razie suma wszystkich pól jest równa
![π- π- S = --P1--= --12--= 12-= π-. 1 − q 1 − 1 2 8 3 3](https://img.zadania.info/zad/1942915/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: