/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 2013255

Dane jest koło k1 o promieniu r . W tym kole narysowano koło k2 styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła k1 . W kole k2 narysowano koło k3 styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła k 2 . Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę obwodów wszystkich narysowanych kół.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że każde kolejne koło ma pole dwa razy mniejsze od poprzedniego koła. To oznacza, że promień każdego koła stanowi √12 promienia poprzedniego koła (korzystamy tu ze wzoru na pole koła, lub z tego, że pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa). Obwody kolejnych kół tworzą więc ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie a 1 = 2πr i ilorazie √ - q = √1-= -22 2 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

√ -- a 2πr 4πr 4πr (2+ 2) √ -- S = ---1--= ----√-- = ----√---= ------------- = 2 (2+ 2)πr. 1 − q 1 − -22 2 − 2 4 − 2

 
Odpowiedź: √ -- 2(2 + 2)πr

Wersja PDF