/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 2978239

Wyrazy a1,a2,a3,...,a10 pewnego nieskończonego ciągu an spełniają warunki a 1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 20 , a2 + a4 + a 6 + a8 + a10 = 15 . Wiedząc, że nieskończony ciąg bn określony wzorem bn = 43an+5 jest ciągiem geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu bn .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy kiedy ciąg bn jest ciągiem geometrycznym – iloraz jego sąsiednich wyrazów musi być stały.

3an+1+5 bn+-1= 4------- = 4 3(an+1−an). bn 43an+5

Aby wyrażenie to nie zależało od n , to samo musi być prawdą dla różnicy an+ 1 − an , zatem ciąg an musi być ciągiem arytmetycznym.

Aby zapisać podane równości zauważmy, że jeżeli r jest różnicą ciągu a n , to ciągi a1,a3,a5,... i a2,a4,a6,... są ciągami arytmetycznymi o różnicy 2r . Zatem podane warunki dają nam równania.

{ a1 + a3 + a5 + a7 + a 9 = 20 a2 + a + a6 + a8 + a = 1 5 { 4 10 2a1+4⋅2r ⋅5 = 20 2a22+4⋅2r 2a1+2r+4⋅2r 2 ⋅5 = 2 ⋅5 = 1 5 { a1 + 4r = 4 a1 + 5r = 3

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić a1 ) mamy r = −1 , czyli a1 = 4− 4r = 8 oraz

an = a1 + (n− 1)r = 8 − (n − 1) = 9 − n

Daje nam to

( )3n− 32 b = 43an+5 = 43(9−n)+5 = 4 −3n+32 = 1- . n 4

Widać, że ciąg bn jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 13- 4 . Jego suma wynosi więc

b -−129 -1−32 4 32 S = ---1--= -4-----= -4-----= --- . 1 − q 1 − 413 43 − 1 63

 
Odpowiedź: 432 63

Wersja PDF