Zadanie nr 2978239
Wyrazy pewnego nieskończonego ciągu
spełniają warunki
,
. Wiedząc, że nieskończony ciąg
określony wzorem
jest ciągiem geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu
.
Rozwiązanie
Sprawdźmy kiedy ciąg jest ciągiem geometrycznym – iloraz jego sąsiednich wyrazów musi być stały.
![3an+1+5 bn+-1= 4------- = 4 3(an+1−an). bn 43an+5](https://img.zadania.info/zad/2978239/HzadR1x.gif)
Aby wyrażenie to nie zależało od , to samo musi być prawdą dla różnicy
, zatem ciąg
musi być ciągiem arytmetycznym.
Aby zapisać podane równości zauważmy, że jeżeli jest różnicą ciągu
, to ciągi
i
są ciągami arytmetycznymi o różnicy
. Zatem podane warunki dają nam równania.
![{ a1 + a3 + a5 + a7 + a 9 = 20 a2 + a + a6 + a8 + a = 1 5 { 4 10 2a1+4⋅2r ⋅5 = 20 2a22+4⋅2r 2a1+2r+4⋅2r 2 ⋅5 = 2 ⋅5 = 1 5 { a1 + 4r = 4 a1 + 5r = 3](https://img.zadania.info/zad/2978239/HzadR10x.gif)
Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) mamy
, czyli
oraz
![an = a1 + (n− 1)r = 8 − (n − 1) = 9 − n](https://img.zadania.info/zad/2978239/HzadR14x.gif)
Daje nam to
![( )3n− 32 b = 43an+5 = 43(9−n)+5 = 4 −3n+32 = 1- . n 4](https://img.zadania.info/zad/2978239/HzadR15x.gif)
Widać, że ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
. Jego suma wynosi więc
![b -−129 -1−32 4 32 S = ---1--= -4-----= -4-----= --- . 1 − q 1 − 413 43 − 1 63](https://img.zadania.info/zad/2978239/HzadR18x.gif)
Odpowiedź: