Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3095943

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach  2 2 7−n x + y = 3 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k−1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P k , gdzie k ≥ 1 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację – okrąg on jest okręgiem o środku (0 ,0) i promieniu √ ----- 3 7−n .


PIC


Pole pierwszego pierścienia kołowego jest równe

P1 = π ⋅ 36 − π ⋅35 = (729 − 243 )π = 4 86π .

Pole każdego kolejnego pierścienia kołowego jest dziewięć razy mniejsze (bo promienie ograniczających go okręgów są 3 razy mniejsze). Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie P = 486π 1 i ilorazie  1 q = 9 . Suma tego szeregu jest równa

 P 1 486π 486π 24 3⋅9π 2187π S = ------= ----1-= --8--= -------- = ------. 1 − q 1− 9 9 4 4

 
Odpowiedź: 2187π 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!