Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3129473

Niech T1 będzie trójkątem równobocznym o boku długości a . Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne T2,T3,T 4... takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów T ,T ,T ,... 1 2 3 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Ze wzoru  √ - h = a23- na wysokość w trójkącie równobocznym o boku a , wiemy, że długości boków kolejnych trójkątów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a i ilorazie  √-3 k = 2 . Ponieważ stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, pola trójkątów T 1,T 2,T3... tworzą ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie  √ - a2-3 a1 = 4 i ilorazie  2 3 q = k = 4 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

 a2√-3 --a1-- --4--- 2√ -- 1 − q = 1 − 3 = a 3. 4

 
Odpowiedź:  2√ -- a 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!