Zadanie nr 3129473
Niech będzie trójkątem równobocznym o boku długości
. Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne
takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym o boku
, wiemy, że długości boków kolejnych trójkątów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie
i ilorazie
. Ponieważ stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, pola trójkątów
tworzą ciąg geometryczny
o pierwszym wyrazie
i ilorazie
. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
![a2√-3 --a1-- --4--- 2√ -- 1 − q = 1 − 3 = a 3. 4](https://img.zadania.info/zad/3129473/HzadR9x.gif)
Odpowiedź: