Zadanie nr 3682965
Monotoniczny ciąg geometryczny jest zdefiniowany przez warunki
![{ √ -- a1 = 5 an+ 2 = an − an+1.](https://img.zadania.info/zad/3682965/HzadT1x.gif)
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu .
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy przez iloraz ciągu
, to mamy
i dany warunek rekurencyjny przyjmuje postać.
![n+ 1 n− 1 n n− 1 a1q = a1q − a1q / : a1q q2 = 1 − q q2 + q − 1 = 0 Δ = 1 + 4 = 5 √ -- √ -- − 1− 5 − 1+ 5 q = ----2----- ∨ q = ----2----.](https://img.zadania.info/zad/3682965/HzadR3x.gif)
Ponieważ ciąg ma być monotoniczny, pierwsze rozwiązanie odrzucamy i mamy
![-- √ 5 − 1 q = --------≈ 0,6. 2](https://img.zadania.info/zad/3682965/HzadR4x.gif)
Ponieważ , możemy obliczyć sumę wszystkich wyrazów ciągu
.
![√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- S = -a1--= ------5-√-- = --2-√5--= 2--5(3-+---5-)= 6--5-+-10-= 3--5-+-5-. 1− q 1 − −-1+--5 3 − 5 9 − 5 4 2 2](https://img.zadania.info/zad/3682965/HzadR7x.gif)
Odpowiedź: