Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4263941

W kąt o mierze x wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kąta a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Ponieważ mamy obliczyć nieskończoną sumę i w szkole nie sumuje się innych szeregów niż geometryczne, to możemy siedomyślać, że promienie danych okręgów będą tworzyć malejący ciąg geometryczny. Pozostało znaleźć jego iloraz.


PIC


Na rysunku mamy narysowane dwa kolejne koła, musimy wyliczyć  r q = r21 . Można to zrobić na różne sposoby, my obliczymy to z trójkąta prostokątnego O O D 2 1 (którego kąt ostry jest równy x 2 ). Mamy

DO--1- x- O O = sin 2 1 2 r1 −-r2-= sin x- r1 + r2 2 x- x- r1 − r2 = r1 sin 2 + r2 sin 2 x- x- r2(1 + sin 2) = r1(1 − sin 2) x q = r2 = 1−--sin-2. r1 1+ sin x2

Możemy więc obliczyć sumę S pól wszystkich okręgów

S = πr 2 + π (rq)2 + ⋅⋅⋅ = πr 2(1 + q 2 + q4 + ⋅⋅⋅) = 1 1 = πr 2----------x2-= πr2 ------x----2 x-------x---2 x-= 1− (1−sin-2x)2- 1+2sin2+sin-2−1+x-22sin-2−-sin-2- (1+sin 2) (1+ sin2) πr 2(1+ sin x2 )2 = ----------x-----. 4sin 2

 
Odpowiedź: πr2(1+sin-x2)2 4 sin x2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!