/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 4577356

Określamy kwadraty K 1, K2, K3, ... następująco:

  • K1 jest kwadratem o boku długości a

  • K 2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2

  • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

  • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn −1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.


ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zobaczmy jak zmienia się bok kwadratu, przy pojedynczym przejściu.


ZINFO-FIGURE


Jeżeli bok kwadratu Ki ma długość ai , to na mocy twierdzenia Pitagorasa

 ∘ ------------------- ∘ ------ √ -- ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 1 4 5 ai+1 = -ai + --ai = ai ⋅ --+ --= ----⋅ai. 3 3 9 9 3

Długości boków kwadratów Ki tworzą więc ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a = a 1 i ilorazie  √- q = -5- 3 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

 √ -- √ -- S = -a1---= --a-√--= --3a√---= 3a(3-+---5)-= 3a(3-+---5). 1− q 1− -5- 3 − 5 9− 5 4 3

Suma obwodów tych kwadratów jest cztery razy większa i jest równa

 √ -- 4S = 3a(3 + 5).

 
Odpowiedź:  √ -- 3a(3 + 5)

Wersja PDF
spinner