Zadanie nr 4577356
Określamy kwadraty następująco:
-
jest kwadratem o boku długości
-
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2
-
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej ,
-
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/4577356/HzadT10x.png)
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
Rozwiązanie
Zobaczmy jak zmienia się bok kwadratu, przy pojedynczym przejściu.
Jeżeli bok kwadratu ma długość
, to na mocy twierdzenia Pitagorasa
![∘ ------------------- ∘ ------ √ -- ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 1 4 5 ai+1 = -ai + --ai = ai ⋅ --+ --= ----⋅ai. 3 3 9 9 3](https://img.zadania.info/zad/4577356/HzadR3x.png)
Długości boków kwadratów tworzą więc ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie
i ilorazie
. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
![√ -- √ -- S = -a1---= --a-√--= --3a√---= 3a(3-+---5)-= 3a(3-+---5). 1− q 1− -5- 3 − 5 9− 5 4 3](https://img.zadania.info/zad/4577356/HzadR7x.png)
Suma obwodów tych kwadratów jest cztery razy większa i jest równa
![√ -- 4S = 3a(3 + 5).](https://img.zadania.info/zad/4577356/HzadR8x.png)
Odpowiedź: