/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 5117775

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Konstruujemy ciąg trójkątów równobocznych T1, T2, T 3, ... następująco:

  • T1 jest trójkątem równobocznym o polu 1.

  • dla każdego n ≥ 2 , trójkąt Tn ma wierzchołki na trzech różnych bokach trójkąta Tn−1 i każdy z wierzchołków trójkąta Tn dzieli odpowiedni bok trójkąta Tn −1 w stosunku 1 : 2.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę pól wszystkich trójkątów T 1, T2, T3, ... .

Rozwiązanie

Musimy ustalić jak zmienia się długość boku trójkąta przy pojedynczym przejściu. Aby to zrobić, załóżmy że bok trójkąta Ti ma długość ai .

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Długość boku trójkąta Ti+1 obliczamy korzystając z twierdzenia cosinusów.

( ) ( ) 2 2- 2 1- 2 2- 1- ∘ ai+ 1 = 3ai + 3 ai − 2 ⋅3ai ⋅3ai ⋅cos60 = ( ) 4- 1- 2- 2 3-2 a2i- = 9 + 9 − 9 ai = 9ai = 3 .

To oznacza, że √- a = -3a i+i 3 i , albo co dla nas nawet bardziej istotne, pole trójkąta Ti+ 1 jest 3 razy mniejsze od pola trójkąta Ti . Jeżeli więc oznaczymy przez pi pole trójkąta Ti , to ∞ (pi)i=1 jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie równym p1 = 1 i ilorazie q = 13 . Jego suma jest więc równa

p 1 1 1 3 ------= ----1-= -2 = --. 1− q 1− 3 3 2

Sposób II

Przyjmijmy oznaczenia z rysunku – w szczególności niech CF będzie wysokością trójkąta ABC . Zauważmy, że

EF = AF − AE = 1ai − 1ai = 3−--2ai = 1ai = 1AE . 2 3 6 6 2

To oznacza, że

2 = AD--= AE-, DC EF

czyli proste CF i DE są równoległe (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa). Mówiąc jeszcze inaczej, trójkąty AED i AF C są podobne w skali

AD-- = 2. AC 3

W takim razie

√ -- √ -- DE-- 2- 2- 2- ai--3 --3- CF = 3 ⇒ ai+1 = 3 ⋅ CF = 3 ⋅ 2 = 3 ai.

Sumę interesującego nas ciągu pól obliczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: 3 2

Wersja PDF