Zadanie nr 5117775
Konstruujemy ciąg trójkątów równobocznych następująco:
-
jest trójkątem równobocznym o polu 1.
-
dla każdego
, trójkąt
ma wierzchołki na trzech różnych bokach trójkąta
i każdy z wierzchołków trójkąta
dzieli odpowiedni bok trójkąta
w stosunku 1 : 2.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/5117775/HzadT7x.png)
Oblicz sumę pól wszystkich trójkątów .
Rozwiązanie
Musimy ustalić jak zmienia się długość boku trójkąta przy pojedynczym przejściu. Aby to zrobić, załóżmy że bok trójkąta ma długość
.
Sposób I
Długość boku trójkąta obliczamy korzystając z twierdzenia cosinusów.
![( ) ( ) 2 2- 2 1- 2 2- 1- ∘ ai+ 1 = 3ai + 3 ai − 2 ⋅3ai ⋅3ai ⋅cos60 = ( ) 4- 1- 2- 2 3-2 a2i- = 9 + 9 − 9 ai = 9ai = 3 .](https://img.zadania.info/zad/5117775/HzadR4x.png)
To oznacza, że , albo co dla nas nawet bardziej istotne, pole trójkąta
jest 3 razy mniejsze od pola trójkąta
. Jeżeli więc oznaczymy przez
pole trójkąta
, to
jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie równym
i ilorazie
. Jego suma jest więc równa
![p 1 1 1 3 ------= ----1-= -2 = --. 1− q 1− 3 3 2](https://img.zadania.info/zad/5117775/HzadR13x.png)
Sposób II
Przyjmijmy oznaczenia z rysunku – w szczególności niech będzie wysokością trójkąta
. Zauważmy, że
![EF = AF − AE = 1ai − 1ai = 3−--2ai = 1ai = 1AE . 2 3 6 6 2](https://img.zadania.info/zad/5117775/HzadR16x.png)
To oznacza, że
![2 = AD--= AE-, DC EF](https://img.zadania.info/zad/5117775/HzadR17x.png)
czyli proste i
są równoległe (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa). Mówiąc jeszcze inaczej, trójkąty
i
są podobne w skali
![AD-- = 2. AC 3](https://img.zadania.info/zad/5117775/HzadR22x.png)
W takim razie
![√ -- √ -- DE-- 2- 2- 2- ai--3 --3- CF = 3 ⇒ ai+1 = 3 ⋅ CF = 3 ⋅ 2 = 3 ai.](https://img.zadania.info/zad/5117775/HzadR23x.png)
Sumę interesującego nas ciągu pól obliczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: