Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5377463

Dane jest koło o promieniu r . W tym kole narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy r , w narysowanym kole znów narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich narysowanych kół.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Liczymy

 (r )2 ( r)2 ( r) 2 P = πr 2 + π -- + π -- + π -- + ... = ( 2( ) ( 4) ( 8) ) 2 1 2 1 2 1 2 = πr 1 + 2- + 4- + 8- + ... = 2--1--- 4- 2 = πr 1 = 3πr . 1 − 4

W powyższych rachunkach skorzystaliśmy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego  a 11−q- .

Dla ciekawskich, opisana figura nosi nazwę ’kolczyka hawajskiego’ lub ’pawiego oczka’ i ma wiele interesujących własności. Można sobie wygooglać ’Hawaiian earring’.  
Odpowiedź: 43πr 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!