/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 5377463

Dane jest koło o promieniu r . W tym kole narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy r , w narysowanym kole znów narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich narysowanych kół.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Liczymy

(r )2 ( r)2 ( r) 2 P = πr 2 + π -- + π -- + π -- + ... = ( 2( ) ( 4) ( 8) ) 2 1 2 1 2 1 2 = πr 1 + 2- + 4- + 8- + ... = 2--1--- 4- 2 = πr 1 = 3πr . 1 − 4

W powyższych rachunkach skorzystaliśmy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego a 11−q- .

Dla ciekawskich, opisana figura nosi nazwę ’kolczyka hawajskiego’ lub ’pawiego oczka’ i ma wiele interesujących własności. Można sobie wygooglać ’Hawaiian earring’.  
Odpowiedź: 43πr 2

Wersja PDF