Zadanie nr 5982404
Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych takich, że długość boku pierwszego trójkąta jest równa 
, zaś bok każdego następnego jest równy połowie wysokości poprzedniego. Oblicz sumę wszystkich pól tak utworzonych trójkątów.
Rozwiązanie
Zobaczmy jak zmienia się pole, przy przejściu do kolejnego trójkata. Wysokość trójkąta równobocznego o boku 
wyraża się wzorem 
. Kolejny trójkąt ma mieć bok równy połowie tej wysokości czyli
Jego pole jest równe
Pole wyjściowego trójkąta jest równe 
, co daje nam iloraz
Zatem ciąg pól tworzy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 
i ilorazie 
. Suma takiego ciągu jest równa
Odpowiedź: 
