Zadanie nr 5982404
Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych takich, że długość boku pierwszego trójkąta jest równa , zaś bok każdego następnego jest równy połowie wysokości poprzedniego. Oblicz sumę wszystkich pól tak utworzonych trójkątów.
Rozwiązanie
Zobaczmy jak zmienia się pole, przy przejściu do kolejnego trójkata. Wysokość trójkąta równobocznego o boku wyraża się wzorem
. Kolejny trójkąt ma mieć bok równy połowie tej wysokości czyli
![√ -- a 3 ----. 4](https://img.zadania.info/zad/5982404/HzadR2x.gif)
Jego pole jest równe
![√- a-3-2√ -- 2√ -- (-4-)---3-= 3a---3-. 4 16 ⋅4](https://img.zadania.info/zad/5982404/HzadR3x.gif)
Pole wyjściowego trójkąta jest równe , co daje nam iloraz
![3a2√3 -16⋅4-- -3- a2√-3 = 16 . 4](https://img.zadania.info/zad/5982404/HzadR5x.gif)
Zatem ciąg pól tworzy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym i ilorazie
. Suma takiego ciągu jest równa
![2√- √ -- a1 a-43 4 3a 2 S = ------= -13--= -------. 1 − q 16 13](https://img.zadania.info/zad/5982404/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: