Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5982404

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych takich, że długość boku pierwszego trójkąta jest równa a , zaś bok każdego następnego jest równy połowie wysokości poprzedniego. Oblicz sumę wszystkich pól tak utworzonych trójkątów.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zobaczmy jak zmienia się pole, przy przejściu do kolejnego trójkata. Wysokość trójkąta równobocznego o boku a wyraża się wzorem  √ - h = a--3 2 . Kolejny trójkąt ma mieć bok równy połowie tej wysokości czyli

 √ -- a 3 ----. 4

Jego pole jest równe

 √- a-3-2√ -- 2√ -- (-4-)---3-= 3a---3-. 4 16 ⋅4

Pole wyjściowego trójkąta jest równe a2√3 --4- , co daje nam iloraz

3a2√3 -16⋅4-- -3- a2√-3 = 16 . 4

Zatem ciąg pól tworzy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym a2√-3 4 i ilorazie 316 . Suma takiego ciągu jest równa

 2√- √ -- a1 a-43 4 3a 2 S = ------= -13--= -------. 1 − q 16 13

 
Odpowiedź:  √ -2 4-133a

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!