Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2+y^2=2^{11-n},... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Liczenie sumy, 6583284

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Szereg geometryczny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 6583284

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $(on)$ o równaniach $2 2 11−n x + y = 2$ , $n ≥ 1$ . Niech $Pk$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o2k−1$ i wewnętrznym okręgiem $o2k$ . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P k$ , gdzie $k ≥ 1$ .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację – okrąg $on$ jest okręgiem o środku $(0 ,0)$ i promieniu $√ ------ 2 11−n$ .

Pole pierwszego pierścienia kołowego jest równe

P1 = π ⋅ 210 − π ⋅ 29 = (1024 − 512 )π = 5 12π .

Pole każdego kolejnego pierścienia kołowego jest cztery razy mniejsze (bo promienie ograniczających go okręgów są 2 razy mniejsze). Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie $P = 512π 1$ i ilorazie $1 q = 4$ . Suma tego szeregu jest równa

P1 5 12π 51 2π 2048 π S = ------= -----1= --3---= ------. 1− q 1 − 4 4 3

Odpowiedź: $2048π 3$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Dodaj komentarz

Legalni bukmacherzy