Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2+y^2=2^{11-n},... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Liczenie sumy, 6583284

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 6583284

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $(on)$ o równaniach $2 2 11−n x + y = 2$ , $n ≥ 1$ . Niech $Pk$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o2k−1$ i wewnętrznym okręgiem $o2k$ . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P k$ , gdzie $k ≥ 1$ .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację – okrąg $on$ jest okręgiem o środku $(0 ,0)$ i promieniu $√ ------ 2 11−n$ .

Pole pierwszego pierścienia kołowego jest równe

P1 = π ⋅ 210 − π ⋅ 29 = (1024 − 512 )π = 5 12π .

Pole każdego kolejnego pierścienia kołowego jest cztery razy mniejsze (bo promienie ograniczających go okręgów są 2 razy mniejsze). Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie $P = 512π 1$ i ilorazie $1 q = 4$ . Suma tego szeregu jest równa