/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 6601449

Określamy kwadraty K 1, K2, K3, ... następująco:

  • K1 jest kwadratem o boku długości a

  • K 2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

  • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

  • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn −1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zobaczmy jak zmienia się bok kwadratu, przy pojedynczym przejściu.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli bok kwadratu Ki ma długość ai , to na mocy twierdzenia Pitagorasa

∘ ------------------- ∘ --------- √ --- ( 1 ) 2 ( 3 ) 2 1 9 10 ai+1 = -ai + --ai = ai ---+ ---= -----⋅ai. 4 4 16 16 4

Długości boków kwadratów Ki tworzą więc ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a = a 1 i ilorazie √-- q = -10- 4 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

√ --- √ --- S = -a1---= ----a√-- = ---4a√----= 4a(4+----10)-= 2a(4-+---10). 1− q 1 − -10- 4− 10 16 − 10 3 4

Suma obwodów tych kwadratów jest cztery razy większa i jest równa

√ --- 8a-(4-+---1-0) 4S = 3 .

 
Odpowiedź: √ -- 8a(4+--10) 3

Wersja PDF