Zadanie nr 6683339

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym ( 3−p) 2n−3 an = 3+p- .

Udowodnij, że ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Wyznacz te wartości parametru , dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu . Oblicz tę sumę.
Wyznacz te wartości parametru , dla których ciąg jest malejący.

Rozwiązanie

Zauważmy, że

( )− 1 a1 = 3-−-p- = 3-+-p-. 3 + p 3 − p

Zatem p ⁄= 3 .

Musimy sprawdzić, że iloraz dwóch sąsiednich wyrazów jest stały (nie zależy od ).
$( ) 2n−1 a 33−+pp- ( 3 − p )2 -n+1-= (----)----- = ------ . an 3−p- 2n−3 3 + p 3+p$
Z poprzedniego podpunktu wiemy, że . Musimy sprawdzić, kiedy .
$||( ) 2|| || 3-−-p- ||< 1 | 3 + p | | | ||3−--p|| < 1 |3+ p| 3− p 3− p − 1 < ------ ∧ ------< 1 3+ p 3+ p 3−--p-+-3-+-p- 3−-p-−--3−--p- 0 < 3+ p ∧ 3+ p < 0 0 < --6--- ∧ −-2p--< 0 3+ p 3+ p p > − 3 ∧ p ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (0,+ ∞ ) p ∈ (0,3)∪ (3,+ ∞ ).$

Suma wynosi

$3+p a1 3−p- (3+ p)3 -----= ----(----)-2 = ----------------2----------2- = 1− q 1 − 33−+pp- (3 − p )((3 + p) − (3− p) ) ---------------(3+-p-)3--------------- -(3-+-p-)3- = (3− p)(3 + p − 3 + p)(3 + p + 3 − p ) = 12p (3− p).$

Odpowiedź:
Sprawdżmy kiedy .
$( )2n− 1 ( ) 2n−3 an+1 − an = 3-−-p- − 3-−-p- = 3 + p 3 + p ( ) 2n−3 (( ) 2 ) = 3−--p- 3-−-p- − 1 = 3+ p 3 + p ( ) 2n−3 ( ) 3−--p- (3−-p-)2 −-(3+-p-)2- = 3+ p (3 + p)2 = ( ) 2n−3 3-−-p- --−1-2p-- 3 + p ⋅(3 + p)2 < 0 ( ) 2(n−2) ( ) 2(n− 2) 3-−-p- 3−--p- -−-12p--- 3-−-p- ----1---- 3 + p ⋅ 3+ p ⋅(3 + p)2 < 0 / : 3 + p ⋅(3 + p)2 3−--p-⋅(− 12p) < 0 3+ p (p− 3)(3+ p)p < 0 p ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (0,3).$

Odpowiedź: