Zadanie nr 7066053
W kwadrat o boku wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę pól wszystkich tych kwadratów.
Rozwiązanie
Zobaczmy jak zmienia się bok kwadratu, przy pojedynczym przejściu.
Okrąg wpisany w kwadrat ma średnicę i to jest dokładnie przekątna kolejnego kwadratu. Zatem
![-- a √ 2 = a ⇒ a = √1--a , n+ 1 n n+1 2 n](https://img.zadania.info/zad/7066053/HzadR2x.gif)
gdzie przez i
oznaczyliśmy boki kolejnych kwadratów. Zatem pola tych kwadratów spełniają
![1- Pn+1 = 2Pn .](https://img.zadania.info/zad/7066053/HzadR5x.gif)
Musimy więc wysumować szereg geometryczny o pierwszym wyrazie i ilorazie
.
![P1 a2 S = ------= -1-= 2a2. 1 − q 2](https://img.zadania.info/zad/7066053/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: