Zadanie nr 8383314
Dany jest okrąg o promieniu
. Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg
styczny wewnętrznie o średnicy
, wewnątrz okręgu
znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy
itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę długości wszystkich skonstruowanych w ten sposób okręgów.
Rozwiązanie
Zauważmy, że każdy kolejny okrąg ma promień dwa razy mniejszy od poprzedniego, więc sumę długości wszystkich okręgów możemy obliczyć jako sumę szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie
i ilorazie
. Suma ta jest więc równa

Odpowiedź: