Dany jest okrąg o_1 o promieniu r. Wewnątrz tego okręgu narysowano... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Liczenie sumy, 8383314

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Szereg geometryczny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 8383314

Dany jest okrąg $o1$ o promieniu $r$ . Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg $o2$ styczny wewnętrznie o średnicy $r$ , wewnątrz okręgu $o 2$ znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy $12r$ itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę długości wszystkich skonstruowanych w ten sposób okręgów.

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy kolejny okrąg ma promień dwa razy mniejszy od poprzedniego, więc sumę długości wszystkich okręgów możemy obliczyć jako sumę szeregu geometrycznego $(an)$ o pierwszym wyrazie $a1 = 2π ⋅r$ i ilorazie $q = 1 2$ . Suma ta jest więc równa

--a1-- -2πr-- 1 − q = 1 − 1 = 4πr. 2

Odpowiedź: $4πr$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Dodaj komentarz

Legalni bukmacherzy