/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 8383314

Dany jest okrąg o1 o promieniu r . Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg o2 styczny wewnętrznie o średnicy r , wewnątrz okręgu o 2 znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę długości wszystkich skonstruowanych w ten sposób okręgów.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy kolejny okrąg ma promień dwa razy mniejszy od poprzedniego, więc sumę długości wszystkich okręgów możemy obliczyć jako sumę szeregu geometrycznego (an) o pierwszym wyrazie a1 = 2π ⋅r i ilorazie q = 1 2 . Suma ta jest więc równa

--a1-- -2πr-- 1 − q = 1 − 1 = 4πr. 2

 
Odpowiedź: 4πr

Wersja PDF