Dany jest okrąg o_1 o promieniu r. Wewnątrz tego okręgu narysowano... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Liczenie sumy, 8383314

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy

Zadanie nr 8383314

Dany jest okrąg $o1$ o promieniu $r$ . Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg $o2$ styczny wewnętrznie o średnicy $r$ , wewnątrz okręgu $o 2$ znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy $12r$ itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę długości wszystkich skonstruowanych w ten sposób okręgów.

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy kolejny okrąg ma promień dwa razy mniejszy od poprzedniego, więc sumę długości wszystkich okręgów możemy obliczyć jako sumę szeregu geometrycznego $(an)$ o pierwszym wyrazie $a1 = 2π ⋅r$ i ilorazie $q = 1 2$ . Suma ta jest więc równa