Ciąg (a_n), gdzie n≥ 1 dany jest wzorem rekurencyjnym... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 6307406

Zadanie nr 6307406

Ciąg $(an)$ , gdzie $n ≥ 1$ dany jest wzorem rekurencyjnym

{ √ -- a√1 =- 6 √- ( 2+ 1 )an+1 = an√−--2 2− 1

Oblicz sumę 21 początkowych wyrazów tego ciągu.
Wyznacz wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których spełniona jest nierówność $2 7an ≤ 3 − (n − 1 ) .$

Rozwiązanie

Przekształćmy podany warunek rekurencyjny

√ -- √ -- √ -- ( 2 + 1)an+ 1 = an√-−---2- / ⋅( 2− 1) 2− 1 √ -- √ -- √ -- ( 2 + 1)( 2√−-1)an+ 1 = an − 2 an+ 1 = an − 2.

Mamy więc do czynienia z ciągiem arytmetycznym, w którym $a = √ 6- 1$ i $√ -- r = − 2$ .

Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. $2a1 +-20r- S 21 = 2 ⋅21 = (a1 + 10r) ⋅21 = √ -- √ -- √ -- √ -- = ( 6− 10 2)21 = 2 1 6− 210 2.$

Odpowiedź: $√ -- √ -- S 21 = 21 6− 210 2$
Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że $√ -- √ -- √ --√ -- an = 6 − (n − 1) 2 = 2( 3− (n− 1)).$
Musimy więc rozwiązać nierówność
$√ --√ -- 7 2( 3 − (n − 1 )) ≤ 3− (n− 1)2 √ --√ -- √ -- √ -- 7 2(√ 3-− (n − 1 )) ≤√ (- 3− (n− 1))(√ -3+ (n − 1)) 0 ≤ ( 3 − (n − 1 ))( 3+ (n − 1)− 7 2) / ⋅(− 1) √ -- √ -- √ -- 0 ≥ (n − (1 + 3 ))(n − (7 2− 3+ 1)) √ -- √ -- √ -- n ∈ ⟨1 + 3,7 2− 3+ 1 ⟩.$
Ponieważ
$√ -- 1√+-- 3√≈--2,7 7 2 − 3 + 1 ≈ 9,2$
otrzymujemy stąd $n ∈ {3,4,5,6,7,8 ,9 }$ .
Odpowiedź: $n ∈ {3 ,4,5,6,7,8,9}$