/Szkoła średnia/Ciągi/Rekurencyjny/Obliczanie jawnego wzoru

Zadanie nr 3067806

Podaj wzór na n -ty wyraz ciągu (an) , jeżeli a1 = 5 i an+1 = 2an dla n ≥ 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Liczymy

2 3 n− 2 n− 1 n−1 an = 2an−1 = 2 an−2 = 2 an −3 = ⋅⋅⋅ = 2 a2 = 2 a 1 = 2 ⋅5.

Ostatnie indeksy napisaliśmy korzystając z obserwacji, że wykładnik przy dwójce plus numer wyrazu dają w sumie n .

Sposób II

Ponieważ każdy kolejny wyraz podanego ciągu powstaje z poprzedniego przez przemnożenie przez 2, ciąg ten jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a1 = 5 i ilorazie q = 2 . Ze wzoru na n -ty wyraz ciągu geometrycznego mamy

n− 1 n−1 an = a1q = 5⋅ 2

 
Odpowiedź: 5 ⋅2n−1

Wersja PDF