/Szkoła średnia/Ciągi/Dowolny/Wyznacz wzór

Zadanie nr 9921113

Średnia arytmetyczna n początkowych wyrazów ciągu (an ) jest równa n 2 + n . Wyznacz wzór ogólny ciągu (an) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez

a1 + a2 + ...+ an sn = ------------------ n

średnią arytmetyczną n początkowych wyrazów ciągu (a ) n . Mamy zatem

ns = (a + a + ...+ a )+ a = (n − 1)s + a n 1 2 n−1 ( n ) n− 1 ( n ) an = nsn − (n − 1)sn−1 = n n 2 + n − (n − 1) (n − 1)2 + (n − 1) = = n 3 + n 2 − (n − 1)3 − (n − 1)2 = 3 2 3 2 2 2 = n + n − (n − 3n + 3n − 1) − (n − 2n + 1) = 3n − n.

 
Odpowiedź: 2 an = 3n − n

Wersja PDF