/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 1082147

Rozwiąż nierówność |2x − 6|− 4x ≥ |x + 5| .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zapiszmy podaną nierówność w postaci

2|x − 3| − 4x ≥ |x + 5|.

Żeby móc opuścić wartości bezwzględne rozważymy 3 przypadki.

Jeżeli x < − 5 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są ujemne i mamy nierówność

− 2(x− 3)− 4x ≥ − (x + 5) − 2x+ 6− 4x ≥ −x − 5 11 ≥ 5x 11 ---≥ x. 5

Czyli w tym przypadku otrzymujemy przedział (− ∞ ,− 5) .

Jeżeli − 5 ≤ x < 3 to mamy nierówność

− 2 (x− 3)− 4x ≥ x + 5 1 ≥ 7x 1 --≥ x . 7

co daje przedział rozwiązań ⟨ ⟩ 1 − 5, 7 .

Jeżeli natomiast x ≥ 3 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są dodatnie i mamy nierówność

2(x − 3) − 4x ≥ (x+ 5) 2x − 6 − 4x ≥ x+ 5 − 11 ≥ 3x − 11-≥ x. 3

Zatem w tym przypadku nierówność jest sprzeczna.

Ostatecznie rozwiązaniem nierówności jest przedział ( ⟩ − ∞ , 1 7 .  
Odpowiedź: ( 1⟩ − ∞ ,7

Wersja PDF