/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 1368734

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność |x−2| |x|- |x−3| x−2 + x + x−3 ≥ 3 .

Rozwiązanie

Oczywiście musi być x ⁄∈ {0,2,3} .

Sposób I

Aby opuścić wartości bezwględne rozważamy przypadki.

Jeżeli x < 0 to mamy nierówność

− (x − 2) −x − (x− 3) ----------+ ----+ ----------≥ 3 x − 2 x x− 3 − 1 − 1 − 1 ≥ 3 − 3 ≥ 3.

W tym przypadku nierówność jest więc sprzeczna.

Jeżeli x ∈ (0,2) to mamy nierówność

−-(x−--2)-+ x-+ −-(x−--3)-≥ 3 x − 2 x x− 3 − 1 + 1 − 1 ≥ 3 − 1 ≥ 3.

W tym przypadku nierówność jest więc sprzeczna.

Jeżeli x ∈ (2,3) to mamy nierówność

x − 2 x − (x− 3) ------+ --+ ----------≥ 3 x − 2 x x− 3 1+ 1− 1 ≥ 3 1 ≥ 3.

W tym przypadku nierówność jest więc sprzeczna.

Jeżeli x > 3 to mamy nierówność

x− 2 x x− 3 ------+ --+ ------≥ 3 x− 2 x x− 3 1+ 1 + 1 ≥ 3 3 ≥ 3.

Nierówność jest więc spełniona dla dowolnego x > 3 .

Sposób II

Zauważmy, że każde z wyrażeń |x−2| |x||x−3| x−2 , x , x−3 jest równe − 1 lub 1. Jeżeli więc suma tych wyrażeń ma być równa co najmniej 3, to każde z nich musi być równe 1. Tak będzie dokładnie wtedy, gdy każde z wyrażeń pod wartością bezwzględną będzie dodatnie, czyli dla x > 3 .  
Odpowiedź: x ∈ (3,+ ∞ )

Wersja PDF