/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 4187278

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność 2 |x − 9|− |x − 3 | ≤ x + 1 .

Rozwiązanie

Jeżeli zapiszemy nierówność w postaci

|(x − 3)(x + 3)|− |x − 3| ≤ x+ 1

to widać, że do rozpatrzenia mamy 3 przypadki.

Jeżeli x ≥ 3 to mamy nierówność

2 x − 9− (x− 3) ≤ x + 1 2 x − 2x − 7 ≤ 0 Δ = 4+ 28 = 32 √ -- √ -- √ -- √ -- x1 = 2-−-4---2 = 1 − 2 2, x2 = 2-+-4--2-= 1+ 2 2 ⟨ 2 ⟩ 2 x ∈ 1 − 2 √ 2,1+ 2√ 2- .

Ponieważ x 1 < 0 i x2 ≈ 3,8 , w połączeniu z warunkiem x ≥ 3 otrzymujemy w tym przypadku ⟨ ⟩ x ∈ 3,1+ 2√ 2- .

Jeżeli x ∈ ⟨− 3,3) to mamy nierówność

2 − (x − 9) + (x − 3) ≤ x + 1 5 ≤ x2 √ -- √ -- x ∈ (−∞ ,− 5⟩ ∪ ⟨ 5,+ ∞ ).

W połączeniu z warunkiem x ∈ ⟨− 3,3 ) otrzymujemy w tym przypadku

√ -- √ -- x ∈ ⟨− 3,− 5⟩ ∪ ⟨ 5,3).

Jeżeli wreszcie x < − 3 to mamy nierówność

2 x − 9+ (x− 3) ≤ x + 1 x2 ≤ 13 √ ---√ --- x ∈ ⟨− 13, 13⟩.

W połączeniu z warunkiem x < − 3 otrzymujemy w tym przypadku √ --- x ∈ ⟨− 13 ,− 3) .

Łącząc otrzymane rozwiązania otrzymujemy

√ --- √ -- √ -- √ -- x ∈ ⟨− 13,− 5⟩ ∪ ⟨ 5,1 + 2 2⟩.

 
Odpowiedź: √ --- √ -- √ -- √ -- x ∈ ⟨− 13,− 5 ⟩∪ ⟨ 5,1 + 2 2⟩

Wersja PDF