Zadanie nr 4602179

Rozwiąż nierówność ||x2+-3x+2|| |x2−x− 6| ≤ 1 .

Rozwiązanie

Rozkładamy trójmian w liczniku.

2 x + 3x+ 2 = 0 Δ = 9 − 8 = 1 − 3 − 1 − 3 + 1 x = ------- = − 2 lub x = ------- = − 1. 2 2

Teraz trójmian w mianowniku.

x 2 − x − 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25 1 − 5 1 + 5 x = ------= − 2 lub x = ------= 3. 2 2

W takim razie dziedziną nierówności jest zbiór R ∖ {− 2,3} . Przy tym założeniu możemy nierówność przekształcić następująco.

||(x + 1)(x + 2 )|| ||x + 1|| 1 ≥ ||---------------|| = ||-----||. (x + 2)(x − 3 ) x − 3

Dalsze przekształcenia wykonamy na dwa różne sposoby.

Sposób I

Przekształcamy nierówność.

1 ≥ x-+-1- ∧ x-+-1-≥ − 1 x − 3 x − 3 x + 1 x+ 1 0 ≥ ------− 1 ∧ ------+ 1 ≥ 0 x − 3 x− 3 0 ≥ --4--- ∧ 2x-−-2-≥ 0 x − 3 x − 3 x− 3 < 0 ∧ x − 1 ≤ 0 x ∈ (− ∞ ,1⟩.

Uwzględniając dziedzinę nierówności, rozwiązaniem jest zbiór

x ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (− 2,1 ⟩.

Sposób II

Mnożąc przez mianownik możemy nierówność zapisać w postaci

|x − 3| ≥ |x + 1|.

Obie strony są nieujemne, więc możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.

2 2 (x − 3) ≥ (x + 1) x2 − 6x + 9 ≥ x2 + 2x+ 1 8 ≥ 8x ⇐ ⇒ 1 ≥ x .

Uwzględniając dziedzinę nierówności, rozwiązaniem jest zbiór

x ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (− 2,1 ⟩.

Odpowiedź: (− ∞ ,− 2) ∪ (− 2,1⟩.