Zadanie nr 5579762

Rozwiąż nierówność |x + 3|+ |3x + 9| < |x + 5 | .

Rozwiązanie

Sposób I

Aby opuścić wartości bezwzględne, musimy wiedzieć jaki jest znak zawartych w nich wyrażeń. Pierwsze dwa są ujemne dla x < − 3 , a trzecie dla x < − 5 . Zatem dana nierówność prowadzi do nierówności

( |{ x+ 3+ 3x + 9 < x + 5 dla x ∈ ⟨−3 ,+∞ ) |( −x − 3− 3x − 9 < x + 5 dla x ∈ ⟨−5 ,−3 ) −x − 3− 3x − 9 < −x − 5 dla x ∈ (−∞ ,− 5) ( |{ 3x < − 7 dla x ∈ ⟨− 3,+ ∞ ) − 5x < 17 dla x ∈ ⟨− 5,− 3) |( ( − 3x < 7 dla x ∈ (− ∞ ,− 5) | x < − 7 dla x ∈ ⟨− 3 ,+ ∞ ) { 317 | x > − -5 dla x ∈ ⟨− 5 ,− 3 ) ( x > − 7 dla x ∈ (− ∞ ,− 5) 3

Rozwiązaniem tych nierówności jest zbiór

( 17 7 ) − --,− -- 5 3

(z pierwszej nierówności mamy 7 x ∈ ⟨− 3,− 3) , z drugiej 17 x ∈ (− 5 ,− 3) , a trzecia nie ma rozwiązań).

Sposób II

Ponieważ

|3x+ 9| = |3(x+ 3)| = 3|x+ 3|,

to podaną nierówność możemy zapisać w postaci

4|x+ 3| < |x+ 5|.

Geometrycznie nierówność ta oznacza, że odległość od -5 ma być większa niż 4 odległości od -3. Punkty, w których 4|x + 3| = |x+ 5| to rozwiązania równań

7- 4 (x+ 3) = x + 5 ⇒ x = − 3 17 4(x + 3) = −x − 5 ⇒ x = − ---. 5

Jeżeli zaznaczymy te punkty na osi, to można zauważyć, że 4|x + 3| < |x + 5| w przedziale ( ) − 175 ,− 73 (na zewnątrz tego przedziału odległość od -5 robi się mniejsza niż 4|x+ 3| ).