Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5579762

Rozwiąż nierówność |x + 3|+ |3x + 9| < |x + 5 | .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Aby opuścić wartości bezwzględne, musimy wiedzieć jaki jest znak zawartych w nich wyrażeń. Pierwsze dwa są ujemne dla x < − 3 , a trzecie dla x < − 5 . Zatem dana nierówność prowadzi do nierówności

( |{ x+ 3+ 3x + 9 < x + 5 dla x ∈ ⟨−3 ,+∞ ) |( −x − 3− 3x − 9 < x + 5 dla x ∈ ⟨−5 ,−3 ) −x − 3− 3x − 9 < −x − 5 dla x ∈ (−∞ ,− 5) ( |{ 3x < − 7 dla x ∈ ⟨− 3,+ ∞ ) − 5x < 17 dla x ∈ ⟨− 5,− 3) |( ( − 3x < 7 dla x ∈ (− ∞ ,− 5) | x < − 7 dla x ∈ ⟨− 3 ,+ ∞ ) { 317 | x > − -5 dla x ∈ ⟨− 5 ,− 3 ) ( x > − 7 dla x ∈ (− ∞ ,− 5) 3

Rozwiązaniem tych nierówności jest zbiór

( 17 7 ) − --,− -- 5 3

(z pierwszej nierówności mamy  7 x ∈ ⟨− 3,− 3) , z drugiej  17 x ∈ (− 5 ,− 3) , a trzecia nie ma rozwiązań).

Sposób II

Ponieważ

|3x+ 9| = |3(x+ 3)| = 3|x+ 3|,

to podaną nierówność możemy zapisać w postaci

4|x+ 3| < |x+ 5|.

Geometrycznie nierówność ta oznacza, że odległość x od -5 ma być większa niż 4 odległości od -3. Punkty, w których 4|x + 3| = |x+ 5| to rozwiązania równań

 7- 4 (x+ 3) = x + 5 ⇒ x = − 3 17 4(x + 3) = −x − 5 ⇒ x = − ---. 5

Jeżeli zaznaczymy te punkty na osi, to można zauważyć, że 4|x + 3| < |x + 5| w przedziale ( ) − 175 ,− 73 (na zewnątrz tego przedziału odległość x od -5 robi się mniejsza niż 4|x+ 3| ).


PIC

Sposób III

Tak jak poprzednio zauważamy, że podana nierówność jest równoważna nierówności

4|x+ 3| < |x+ 5|.

Tym razem jednak nic nie rysujemy, tylko podnosimy nierówność stronami do kwadratu (obie strony są nieujemne!)

 2 2 16(x + 3) < (x + 5 ) 16x2 + 96x + 1 44 < x2 + 10x + 2 5 15x2 + 86x + 1 19 < 0 / : 2 15 119 ---x2 + 43x + ----< 0 2 2 Δ = 1849 − 1785 = 5611 = 6 4 = 82 − 43 − 8 51 17 − 43 + 8 35 7 x1 = ---------= − ---= − --, ,x2 = ---------= − ---= − -- ( 15 ) 15 3 15 15 3 17- 7- x ∈ − 5 ,− 3 .

 
Odpowiedź: ( ) − 175 ,− 73

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!