/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 5850188

Rozwiąż nierówność 2 |x − 10|x|+ 15| < 6 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Nierówność możemy zapisać w postaci

− 6 < x2 − 10|x| + 15 ∧ x2 − 10|x|+ 1 5 < 6 0 < x 2 − 10 |x |+ 21 ∧ x2 − 10|x|+ 9 < 0 2 2 0 < |x| − 10|x|+ 21 ∧ |x | − 10|x| + 9 < 0.

Podstawiamy teraz t = |x| .

2 2 0 < t − 1 0t+ 21 ∧ t − 10t+ 9 < 0 Δ = 10 0− 84 = 16 ∧ Δ = 100 − 36 = 64 (t = 3 ∨ t = 7) ∧ (t = 1 ∨ t = 9) t ∈ (− ∞ ,3) ∪ (7+ ∞ ) ∧ t ∈ (1,9) t ∈ (1,3) ∪ (7,9).

Wracając do x -a.

|x | ∈ (1,3) ∪ (7,9) x ∈ (− 9,− 7)∪ (− 3,− 1) ∪ (1,3)∪ (7,9).

Sposób II

Jak poprzednio zapiszmy nierówność w postaci

− 6 < |x|2 − 10|x|+ 15 < 6.

Narysujemy teraz funkcję, która jest w środku. Rysujemy kawałek paraboli y = x2 − 10x + 15 , który jest na prawo od osi Oy i odbijamy względem osi Oy – to jest dokładnie wykres funkcji 2 y = |x| − 10|x|+ 15 .

PIC

Patrzymy kiedy (dla jakich x -ów) wykres ten jest pomiędzy prostymi y = − 6 i y = 6 . Otrzymane wartości krańcowe − 9,− 7,− 3,− 1,1,3,7,9 można sprawdzić wstawiając do wzoru i sprawdzając, że wychodzi ± 6 .  
Odpowiedź: x ∈ (− 9,− 7) ∪ (− 3,− 1)∪ (1,3 )∪ (7,9)

Wersja PDF