/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 6429465

Rozwiąż nierówność 2 |2x − 4|+ 4x > |2x − 4| .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną jest dodatnie dla x > 2 , a wyrażenie pod drugą wartością bezwzględną dla √ -- x < − 2 i √ -- x > 2 . Mamy zatem możliwe przypadki.

Jeżeli x > 2 to mamy nierówność

2x − 4 + 4x > 2x2 − 4 2 0 > 2x − 6x 0 > 2x (x− 3) x ∈ (0,3).

Mamy więc w tym przypadku zbiór rozwiązań: (2 ,3) .

Jeżeli √ -- x ∈ ( 2,2⟩ to mamy nierówność

− 2x + 4 + 4x > 2x2 − 4 2 0 > 2x − 2x − 8 / : 2 0 > x2 − x− 4 Δ = 1 + 16 = 1 7 √ --- √ --- x1 = 1−----17, x2 = 1-+---17- ( 2√ --- √ ---) 2 1− 17 1 + 17 x ∈ --------,--------- . 2 2

Ponieważ √-- 1−-217-≈ −1 ,6 i √ -- 1+2-17≈ 2,6 mamy w tym przypadku zbiór rozwiązań: (√ 2,2⟩ .

Jeżeli √ --√ -- x ∈ (− 2, 2⟩ to mamy nierówność

2 − 2x + 4+ 4x > − 2x + 4 2x2 + 2x > 0 2x(x + 1) > 0 x ∈ (− ∞ ,− 1)∪ (0,+ ∞ ).

Mamy więc w tym przypadku zbiór rozwiązań: √ -- √ -- (− 2 ,− 1 )∪ (0, 2⟩ .

Jeżeli wreszcie √ -- x ≤ − 2 to mamy nierówność

2 − 2x + 4 + 4x > 2x − 4

Zauważmy, że jest to dokładnie ta sama nierówność, którą rozwiązywaliśmy w przypadku √ -- x ∈ ( 2,2⟩ i jej rozwiązaniem jest przedział ( √-- √--) 1−-217, 1+-217 . Mamy więc w tym przypadku zbiór rozwiązań: ( √ -- √ -⟩ 1−2-17,− 2 .

Łącząc wszystkie otrzymane rozwiązania mamy zbiór rozwiązań:

( √ --- ) 1− 17 --------,− 1 ∪ (0,3). 2

 
Odpowiedź: ( √-- ) 1−--17,− 1 ∪ (0,3) 2

Wersja PDF