/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 6558891

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność |2x + 4|+ |x− 1| ≤ 6 .

Rozwiązanie

Zapiszmy podaną nierówność w postaci

2|x + 2|+ |x − 1| ≤ 6.

Żeby móc opuścić wartości bezwzględne rozważymy 3 przypadki.

Jeżeli x < − 2 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są ujemne i mamy nierówność

2(−x − 2)− (x− 1) ≤ 6 − 2x− 4− x+ 1 ≤ 6 − 3x ≤ 9 / : (− 3) x ≥ − 3.

Czyli w tym przypadku otrzymujemy przedział ⟨− 3,− 2) .

Jeżeli − 2 ≤ x < 1 to mamy nierówność

2(x + 2)− (x− 1) ≤ 6 2x + 4− x + 1 ≤ 6 x ≤ 1

co daje przedział rozwiązań ⟨− 2 ,1 ) .

Jeżeli natomiast x ≥ 1 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są dodatnie i mamy nierówność

2(x + 2)+ (x− 1) ≤ 6 3x ≤ 3 / : 3 x ≤ 1.

Zatem w tym przypadku jedynym rozwiązaniem jest x = 1 .

Ostatecznie rozwiązaniem nierówności jest przedział ⟨− 3,1⟩ .  
Odpowiedź: ⟨− 3,1⟩

Wersja PDF