/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 7756497

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność |x| |x−-1|- |x−2| x + x− 1 + x−2 < 3 .

Rozwiązanie

Oczywiście musi być x ⁄∈ {0,1,2} .

Sposób I

Aby opuścić wartości bezwględne rozważamy przypadki.

Jeżeli x < 0 to mamy nierówność

−x − (x − 1) − (x− 2) ----+ ----------+ ----------< 3 x x − 1 x− 2 − 1 − 1 − 1 < 3 − 3 < 3.

Nierówność jest więc spełniona dla każdego x < 0 .

Jeżeli x ∈ (0,1) to mamy nierówność

x-+ −-(x-−-1)-+ −-(x−--2)-< 3 x x − 1 x− 2 1− 1− 1 < 3 − 1 < 3.

Nierówność jest więc też spełniona w przedziale (0,1) .

Jeżeli x ∈ (1,2) to mamy nierówność

x x − 1 − (x− 2) --+ ------+ ----------< 3 x x − 1 x− 2 1+ 1 − 1 < 3 1 < 3.

Nierówność jest więc też spełniona w przedziale (1,2) .

Jeżeli x > 2 to mamy nierówność

x x − 1 x− 2 --+ ------+ ------< 3 x x − 1 x− 2 1 + 1 + 1 < 3 3 < 3.

Nierówność jest więc w tym przypadku sprzeczna.

Sposób II

Zauważmy, że każde z wyrażeń |x|-|x−1| |x−2| x , x−1 , x−2 jest równe − 1 lub 1. W takim razie suma tych wyrażeń jest nie większa od 3 i jest równa 3 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, czyli dla x > 2 . W pozostałych przypadkach, czyli dla x ∈ (− ∞ ,0) ∪ (0,1) ∪ (1,2) suma ta jest mniejsza od 3.  
Odpowiedź: x ∈ (− ∞ ,0) ∪ (0,1)∪ (1,2)

Wersja PDF