/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 7918773

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których zbiór rozwiązań nierówności

|x2 − 4x + 3|+ m ≤ x

jest jednoelementowy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Sprawdzimy jaki jest znak wyrażenia pod wartością bezwzględną, co pozwoli nam się jej pozbyć. Liczymy pierwiastki trójmianu.

Δ = 16− 12 = 4 4 − 2 4+ 2 x1 = ------= 1, x 2 = ------= 3 . 2 2

Aby opuścić wartość bezwzględną musimy rozważyć dwa przypadki.

  • Jeżeli x ∈ (− ∞ ,1⟩∪ ⟨3,+ ∞ ) , to mamy nierówność
    2 x − 4x + 3 + m ≤ x x2 − 5x + 3 + m ≤ 0.

    Musimy się teraz zastanowić kiedy ta nierówność ma dokładnie jedno rozwiązanie. Nie jest to całkiem proste, bo mamy ograniczenie x ∈ (− ∞ ,1⟩∪ ⟨3,+ ∞ ) , więc można sobie wyobrazić, że nawet jak lewa strona ma dwa pierwiastki, to nierówność może mieć tylko jedno rozwiązanie.

    Gdyby pierwiastek był w zbiorze (− ∞ ,1) ∪ (3,+ ∞ ) to w jego pobliżu lewa strona byłaby zarówno dodatnia jak i ujemna, co dawałoby nieskończenie wiele rozwiązań tej nierówności (szkicujemy sobie obrazek!). Zatem jedynym rozwiązaniem tej nierówności musi być liczba x = 1 lub x = 3 . Daje nam to odpowiednio m = 1 i m = 3 . Mamy zatem nierówności

    2 x − 5x + 4 ≤ 0 x 2 − 5x + 6 ≤ 0.

    Łatwo sprawdzić, że rozwiązaniem pierwszej jest przedział ⟨1,4⟩ , a drugiej ⟨2,3⟩ . Uwzględniając obowiązujący nas przedział x ∈ (− ∞ ,1⟩∪ ⟨3,+ ∞ ) , widzimy, że tylko druga z nich spełnia żądany warunek.

    Inny sposób sprawdzenia kiedy nierówność

    x 2 − 5x + 3+ m ≤ 0

    ma dokładnie jedno rozwiązanie, to zauważenie, że prosta 5 x = 2 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem lewej strony (przechodzi przez jej wierzchołek).

    PIC

    Ponieważ od 52 jest bliżej do 3 niż do 1, więc jeżeli ta parabola ma pierwiastek w przedziale (− ∞ ,1⟩ to ma też w przedziale ⟨3,+ ∞ ) . Jeżeli pierwiastek ma być jeden, to musi być on w przedziale ⟨3,+ ∞ ) . Jak poprzednio zauważamy, że musi to być koniec przedziału, co daje nam x = 3 i m = 3 .

    Jeszcze inny sposób, to zapisanie nierówności w postaci

    x2 − 5x + 3 ≤ −m .

    Teraz szkicujemy parabolę będącą wykresem lewej strony i zauważamy, że jej najmniejsza wartość na interesującym nas przedziale to f(3 ) = − 3 . Zatem powyższa nierówność będzie miała dokładnie jedno rozwiązanie tylko dla m = 3 .

  • Jeżeli natomiast x ∈ (1,3) to mamy nierówność
    − x2 + 4x− 3+ m ≤ x 2 − x + 3x− 3+ m ≤ 0.

    Jeżeli nierówność ta ma przynajmniej jedno rozwiązanie, to z założenia jest ono w przedziale otwartym (1,3 ) , więc jest wtedy nieskończenie wiele rozwiązań (bo w pobliżu pierwiastka parabola jest zarówno dodatnia jak i ujemna). To oznacza, że to jedyne rozwiązanie nierówności musi jednak być w przedziale (− ∞ ,1 ⟩∪ ⟨3,+ ∞ ) i wracamy do analizy z poprzedniego podpunktu.

Sposób II

Zadanie można łatwo rozwiązać geometrycznie. Zacznijmy od naszkicowania wykresu funkcji 2 f(x ) = |x − 4x+ 3| . Jak zauważyliśmy w poprzednim rozwiązaniu pierwiastkami paraboli pod wartością bezwzględną są liczby x = 1 i x = 3 . Wykres f(x) powstaje więc z paraboli y = x2 − 4x + 3 przez odbicie jej fragmentu na przedziale ⟨1,3⟩ względem osi Ox .

PIC

Pytanie teraz brzmi o ile trzeba tę parabolę przesunąć w górę lub w dół (odpowiada to dodawaniu m ), aby była poniżej wykresu y = x dokładnie w jednym punkcie. Gdy naszkicujemy sobie tę sytuację, to widać, że tak będzie jeżeli wartość przesuniętej funkcji w x = 3 będzie równa 3 (czyli punkt ten będzie na prostej y = x ). To nam daje m = 3 .  
Odpowiedź: m = 3

Wersja PDF