/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 9244706

Rozwiąż nierówność 2 |x − 6x| ≤ 2x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli x < 0 , to podana nierówność nie ma rozwiązań. Możemy zatem założyć, że x ≥ 0 . Podana nierówność jest równoważna dwóm nierównościom

{ x 2 − 6x ≤ 2x x 2 − 6x ≥ − 2x { x 2 − 8x ≤ 0 2 x − 4x ≥ 0 { x (x− 8) ≤ 0 x (x− 4) ≥ 0.

Rozwiązaniem pierwszej z tych nierówności jest przedział ⟨0,8 ⟩ , a drugiej (− ∞ ,0⟩ ∪ ⟨4,∞ ) . Część wspólna tych dwóch zbiorów to

{0} ∪ ⟨4,8⟩.

Sposób II

Nierówność możemy też rozwiązać graficznie. Wykres funkcji y = |x2 − 6x| otrzymujemy z paraboli 2 y = x − 6x = x(x − 6 ) (o miejscach zerowych 0,6 i wierzchołku w punkcie (3,− 9) ) przez odbicie części poniżej osi Ox do góry.

PIC

Jeżeli na tym samym wykresie narysujemy prostą y = 2x to widać, że wykresy te przecinają się w trzech punktach. Przy odręcznym rysunku możemy zgadnąć i sprawdzić punkt (0,0) . Pozostałe dwa łatwo wyliczyć. Zakładając, że x ⁄= 0 mamy

2 |x − 6x | = 2x x 2 − 6x = 2x ∨ x2 − 6x = − 2x x 2 = 8x ∨ x 2 = 4x x = 8 ∨ x = 4.

Teraz łatwo z wykresu odczytać zbiór, na którym parabola jest poniżej prostej:

{0} ∪ ⟨4,8⟩.

 
Odpowiedź: x ∈ { 0}∪ ⟨4 ,8⟩

Wersja PDF