/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 9563344

Rozwiąż nierówność 2 |x + 6x − 7| > 6 + |x + 7| .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw jakie są pierwiastki trójmianu w pierwszej wartości bezwzględnej.

2 x + 6x − 7 = 0 Δ = 36 + 28 = 64 x = −-6−--8 = − 7 ∨ x = −-6-+-8 = 1 2 2 x 2 + 6x − 7 = (x− 1)(x + 7).

W takim razie musimy rozważyć 3 przypadki.

Jeżeli x ≥ 1 to mamy nierówność

x2 + 6x − 7 > 6 + x + 7 x2 + 5x − 20 > 0 Δ = 25+ 80√ =-105 √ ---- − 5 − 10 5 − 5+ 105 x1 = ------------, x2 = ------------ ( 2 √ ---) ( 2 √ ---- ) −-5−----105- −-5+----105- x ∈ − ∞ , 2 ∪ 2 ,+ ∞ .

Ponieważ x 1 < 0 i x2 ≈ 2,6 , w połączeniu z warunkiem x ≥ 1 otrzymujemy w tym przypadku ( √--- ) x ∈ −5+--105,+ ∞ 2 .

Jeżeli x ∈ ⟨− 7,1) to mamy nierówność

2 − x − 6x + 7 > 6+ x+ 7 0 > x2 + 7x+ 6 Δ = 49 − 24 = 25 −-7−--5 −-7-+-5 x 1 = 2 = − 6, x2 = 2 = −1 x ∈ (− 6 ,− 1 ).

Przedział ten w całości zawiera się w przedziale x ∈ ⟨− 7,1) .

Jeżeli wreszcie x < − 7 to mamy nierówność

2 x + 6x − 7 > 6 − x − 7 x2 + 7x − 6 > 0 Δ = 49+ 24 = 73 −7 − √ 7-3 − 7+ √ 73- x1 = ----------, x2 = ----------- ( 2 √ --) ( 2 √ --- ) − 7 − 73 − 7+ 73 x ∈ − ∞ ,----------- ∪ ----------,+ ∞ . 2 2

Ponieważ x 2 > 0 i x1 ≈ − 7,8 w połączeniu z warunkiem x < − 7 otrzymujemy w tym przypadku ( √--) −7−--73 x ∈ − ∞ , 2 .  
Odpowiedź: ( √ --) ( √--- ) x ∈ −∞ , −7−--73 ∪ (− 6,− 1)∪ −5+--105,+ ∞ 2 2

Wersja PDF