Zadanie nr 9867090

Znajdź wszystkie liczby całkowite, które nie spełniają nierówności |x − 4| ≥ 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Rozwiązaniem nierówności |x | ≥ a , gdzie a > 0 jest zbiór

(−∞ ,−a ⟩ ∪ ⟨a,+ ∞ ).

W naszej sytuacji mamy więc

x − 4 ∈ (− ∞ ,− 2⟩∪ ⟨2 ,+ ∞ ) / + 4 x ∈ (− ∞ ,2⟩∪ ⟨6,+ ∞ ).

Poza tym przedziałem znajdują się 3 liczby całkowite: 3, 4, 5.

Sposób II

Szukamy liczb całkowitych spełniających nierówność przeciwną

|x − 4| < 2.

Nierówność |x| < a , gdzie a > 0 jest równoważna nierówności − a < x < a . W naszej sytuacji mamy więc

− 2 < x − 4 < 2 / + 4 2 < x < 6.

W przedziale tym znajdują się trzy liczby całkowite: 3, 4, 5.

Sposób III

Szukamy liczb całkowitych spełniających nierówność przeciwną

|x − 4| < 2.

Jeżeli x ≥ 4 to wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne i mamy nierówność

x − 4 < 2 x < 6.

W tym przypadku mamy więc dwa rozwiązania całkowite: 4, 5.

Jeżeli natomiast x < 4 to wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne i mamy nierówność

− x+ 4 < 2 2 < x.

Tylko jedna liczba całkowita spełnia tę nierówność: 3.

Sposób IV

Szukamy liczb całkowitych spełniających nierówność przeciwną

|x − 4| < 2.

Przypomnijmy, że nierówność

|x − 4| < 2

spełniają te liczby na osi liczbowej, które są odległe od 4 o mniej niż 2.

Jeżeli zaznaczymy ten zbiór na osi liczbowej, to widać, że zawiera on tylko trzy liczby całkowite 3, 4, 5.
Odpowiedź: {3 ,4 ,5}