/Szkoła średnia/Równania

Zadanie nr 1025319

Rozwiąż równanie

2 √ -- sin 2x + 2sin x = 2 + 6 cosx

w przedziale [− π ,π] .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli chwilę pokombinujemy, to można zauważyć, że da się wyłączyć co sx – korzystamy ze wzoru

sin 2α = 2sin αco sα

oraz z jedynki trygonometrycznej.

2 √ -- sin2x + 2sin x = 2 + 6co sx√ -- 2sin xco sx − 2(1 − sin2x ) = 6co sx √ -- 2sin xco sx − 2co s2x = 6cos x.

Widać teraz, że albo co sx = 0 , czyli x = ± π- 2 , albo możemy równanie podzielić stronami przez co sx i otrzymujemy równanie

√ -- 2sin x− 2cos x = 6 / : 2 √ -- --6- sinx − cosx = 2

Otrzymane równanie można rozwiązać na wiele różnych sposobów – my pokażemy trzy z nich.

Sposób I

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

sin (α − β) = sin αco sβ − sinβ cos α

na sinus różnicy. Przekształcamy równanie tak, aby otrzymać prawą stronę powyższego wzoru.

√ -- √ -- 6 2 sin x − cos x = ---- / ⋅---- √ -- √ -- 2 √ 2- ---2 --2- --3- 2 sin x− 2 cosx = 2 √ -- sin x cos π − sin π-cos x = --3- 4 √ 4- 2 ( π ) 3 sin x − -- = ----. 4 2

Szkicujemy sinusa.

PIC

Z wykresu odczytujemy rozwiązania

π π π ( π ) x − -- = --+ 2k π lub x − --= π − -- + 2kπ 4 3 4 3 x = 7π-+ 2kπ lub x = 11π- + 2kπ . 12 12

W interesującym nas przedziale [− π ,π] otrzymujemy więc rozwiązania:

{ } 7 π 11π x ∈ --- ,---- . 12 12

Musimy też oczywiście pamiętać o dodaniu uzyskanych wcześniej rozwiązań równania cos x = 0 . W sumie dane równanie ma więc 4 rozwiązania

{ } x ∈ − π-, π-, 7π-, 11π . 2 2 12 12

Sposób II

Tym razem będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

sinα − sin β = 2 sin α-−-β-co s α-+-β 2 2

na różnicę sinusów. Przekształcamy równanie tak, aby otrzymać lewą stronę powyższego wzoru

√ -- ( ) --6-= sin x− cosx = sin x − sin π-− x = 2 ( ) ( 2 ) x − π2-− x x + π2-− x ( π ) π = 2 sin -------------cos -------------= 2 sin x− -- cos-- ( ) √ -- 2 √ -- 2 4 4 sin x − π- = --6-⋅ √2--⋅ 1-= --3. 4 2 2 2 2

Otrzymane równanie rozwiązujemy identycznie jak w poprzednim sposobie.

Sposób III

Podnosimy równanie

√ 6- ----= sin x− cosx 2

stronami do kwadratu

6 --= sin2 x− 2sinx cos x+ cos2x 4 3-= 1 − sin 2x 2 1- sin 2x = − 2 .

Stąd

π π 2x = − -- + 2kπ lub 2x = π + --+ 2kπ 6 6 π-- 7π- x = − 12 + k π lub x = 12 + kπ.

W interesującym nas przedziale [− π ,π] daje to rozwiązania

{ } x ∈ − π-,− π-+ π, 7π-− π, 7π . 12 12 12 12

W tym miejscu łatwo jednak o błąd – ponieważ podnosiliśmy równanie stronami do kwadratu, nie wszystkie z otrzymanych rozwiązań są rozwiązaniami wyjściowego równania. Nas interesują tylko takie rozwiązania, dla których sin x − cos x > 0 . Wśród powyższych rozwiązań tylko drugie i czwarte spełniają ten warunek. Dodajemy też otrzymane wcześniej rozwiązania równania sin x = 0 i otrzymujemy

{ } π- π- 7π- 11π- x ∈ − 2, 2, 12 , 12 .

 
Odpowiedź: { π- π-7π- 11π} x ∈ − 2 ,2, 12, 12

Wersja PDF