Miara łukowa kątów

Nie dość, że funkcje trygonometryczne są trudne same w sobie, to zabawę z trygonometrią komplikuje się jeszcze bardziej i każe się zamiast stopni pisać radiany. Są jednak ku temu poważne powody i zanim powiemy jak dokładnie się definiuje radiany, spróbujmy wyjaśnić po co się je wprowadza. Historia funkcji trygonometrycznych Pierwsza obserwacja jest taka, że definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym pozwalają mówić tylko o funkcjach kątów ostrych. To jest za mało. Nawet jeżeli chcemy się zajmować tylko trójkątami, to przecież kąty w trójkącie mogą być rozwarte, a chcielibyśmy mieć twierdzenia sinusów czy cosinusów dla dowolnych trójkątów. Jak się jeszcze chwilę zastanowimy to w czworokątach, które nie są wypukłe, kąty mogą być dowolnie bliskie , więc potrzebujemy mieć funkcje trygonometryczne dowolnych kątów z przedziału .

Jak się jeszcze trochę pobawimy funkcjami trygonometrycznymi, to odkrywamy różne wzory np.

Jeżeli jednak umiemy liczyć funkcje trygonometryczne tylko w przedziale , to mamy dziwną sytuację, bo np. dla wzór jest OK, ale dla jest źle, bo z lewej strony wychodzimy poza dziedzinę sinusa.

Kątowi można jednak nadać interpretację geometryczną – jeżeli myślimy o ramieniu zaczepionym w punkcie i obracającym się najpierw o , a potem jeszcze raz o , to powinno być jasne, że jest to to samo, co jeden obrót tego ramienia o .

W ten sposób dochodzimy do tego, żeby zdefiniować

I tak dalej. W ten sposób definiujemy funkcje trygonometryczne dla dowolnych kątów. Liczby zamiast stopni Powyższe definicje funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów mają jednak zasadniczą wadę: argumenty tych funkcji (to co do nich wstawiamy) nie są liczbami, tylko są liczbami z mianem (są to wielokrotności jednostki ). Np. nie ma sensu pytać się czy , albo liczyć (można za to policzyć ). To jest duży problem, bo w ten sposób nie możemy robić z funkcjami trygonometrycznymi tego, co robimy z innymi funkcjami, na przykład nie mają sensu wyrażenia postaci

Pierwsze wyrażenie nie ma sensu, bo nie możemy mnożyć kątów przez siebie, a drugie bo do sinusa mamy wstawiać kąty, a nie liczby. Mówiąc jeszcze inaczej, chcemy myśleć o funkcji jak o maszynce, która zamienia liczby na liczby, a nie stopnie na liczby.

Aby rozwiązać ten problem, zamienia się kąty na liczby – i to są właśnie radiany, lub jak ktoś woli miara łukowa. Definicja miary łukowej Jak przyporządkować kątowi liczbę? – pomysł jest prosty: bierzemy okrąg jednostkowy (o promieniu długości 1), umieszczamy wierzchołek kąta w środku okręgu i patrzymy jaka jest długość łuku okręgu wyciętego przez ten kąt.

Ponieważ cały okrąg jednostkowy ma długość , to

i tak dalej. Dla kątów spoza przedziału , wygodnie jest myśleć o długości łuku jaki zakreśla promień okręgu obracający się o dany kąt. Np. promień po obrocie o dwa razy odjedzie okrąg, więc .

Ogólnie mamy wzór

czyli

Ujemne kąty We wcześniejszej opowieści o definiowaniu funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów pozostała istotna luka: nie powiedzieliśmy jak definiować funkcje trygonometryczne kątów ujemnych. A co to są kąty ujemne? – hm, tak naprawdę takich nie ma, musimy je dopiero wymyślić.

Jaką interpretację nadać kątowi ? – odpowiedź jest prosta, ma to być taki kąt, żeby

Jak coś takiego zrobić? – żaden problem: jeżeli myślimy o kącie jako o kącie zakreślonym przez obracające się ramię zaczepione w punkcie , to definiujemy kąt tak samo, ale ramię ma się kręcić w drugą stronę.

Jak dodamy do siebie takie kąty, to ramię najpierw obraca się o , potem obraca się o ten sam kąt w drugą stronę, czyli w sumie nic się nie zmienia – wychodzi kąt .

W ten sposób otrzymujemy definicję kątów zorientowanych, czyli takich, które mogą być dodatnie lub ujemne. Zauważmy, że tak naprawdę obu kątom i odpowiada ten sam kąt niezorientowany, czyli kawałek płaszczyzny między ramionami kąta.

Różnica między kątami zorientowanymi i niezorientowanymi jest dokładnie taka sama jak różnica między odcinkami, a wektorami: wektor to odcinek, w którym wyróżniono jeden z końców (początek wektora); podobnie kąt zorientowany to kąt, w którym wyróżniono jedno z ramion (początkowe ramię kąta).

No to już sobie wyjaśniliśmy, co to są ujemne kąty, ale wciąż nie powiedzieliśmy jak zdefiniować . Aby to zrobić, zauważmy, że ramię obrócone o kąt ląduje dokładnie w tym samym miejscu co ramię obrócone o .

Definiujemy więc

Orientacja płaszczyzny Kilka razy mówiliśmy już o obracaniu się promienia/półprostej o kąt. Jednak na płaszczyźnie możemy kręcić się w dwie strony: zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie. Aby mówić o kątach zorientowanych trzeba się umówić, który obrót ma być dodatni, a który ujemny. Ta umowa to tak zwany wybór orientacji płaszczyzny. Standardowo umawiamy się, że obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest dodatni, a obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara jest ujemny. Oczywiście to tylko umowa, równie dobrze można by umówić się przeciwnie (czyli wybrać inną orientację płaszczyzny).