/Szkoła średnia/Równania

Tożsamości trygonometryczne

Bogactwo tożsamości trygonometrycznych jest niewątpliwie źródłem frustracji niejednego ucznia – trzeba dużo wprawy, żeby sprawnie się nimi posługiwać. Z drugiej strony, dzięki tym tożsamościom świat trygonometrii jest niezwykle ciekawy. Jedynka trygonometryczna Najpopularniejszą tożsamością trygonometryczną jest jedynka trygonometryczna

sin 2α + cos2 α = 1

Jedynkę musi znać każdy i należy myśleć, że pozwala ona zamieniać sin 2α na cos2 α i odwrotnie.

Zbadajmy zbiór wartości funkcji f(x) = 3 sin2x + 5 cos2x .
Z jedynki trygonometrycznej mamy

2 2 2 f(x ) = 3(1− cos x )+ 5 cos x = 3 + 2co s x.

Korzystając teraz z nierówności 0 ≤ cos2x ≤ 1 łatwo uzasadnić, że zbiór wartości f(x) to przedział ⟨3,5⟩ .

Wzory redukcyjne Jest wiele wzorów redukcyjnych i dokładnie omówiliśmy je w poradniku o wzorach redukcyjnych. Najważniejsze z nich to

( π ) ( π ) sin --− x = cosx cos --− x = sin x ( 2 ) ( 2 ) sin π-+ x = cosx cos π-+ x = − sin x 2 2 sin(π − x) = sin x cos(π − x) = − co sx sin(π + x) = − sin x cos(π + x) = − co sx.

oraz

(π ) (π ) tg -- − x = ctgx ctg -- − x = tgx ( 2 ) ( 2 ) tg π- + x = − ctg x ctg π- + x = − tg x 2 2 tg (π − x) = − tgx ctg (π − x ) = − ctgx tg (π + x) = tg x ctg (π + x ) = ctg x.

Wzory te pozwalają przesuwać argument funkcji trygonometrycznych o wielokrotność π2- . Ponadto wzory z π2- pozwalają zamieniać funkcję sinus/tangens na cosinus/cotangens i odwrotnie.

Obliczmy ( 411π) tg − 4 .
Liczymy

( ) ( ) tg − 411π-- = − tg 411π--= − tg 102π + 3π- = 4 4 4 ( 3π ) ( π π ) π = − tg --- = − tg --+ -- = ctg -- = 1. 4 2 4 4

Rozwiążmy nierówność (π ) (π ) cos -4 + x sin 4-− x ≥ 1 .
Przekształcamy lewą stronę.

( ) ( ( )) co s π-+ x sin π- − π-+ x = 4( ) 2 ( 4 ) ( ) π- π- 2 π- = co s 4 + x ⋅c os 4 + x = co s 4 + x .

Mamy zatem

2 (π- ) 2( π- ) cos 4 + x ≥ 1 ⇐ ⇒ cos 4 + x = 1 ( π ) π π ⇐ ⇒ co s --+ x = ± 1 ⇐ ⇒ --+ x = kπ ⇐ ⇒ x = − --+ kπ. 4 4 4

Podwojenie kąta Mamy dwa niezwykle użyteczne wzorki

sin 2x = 2sin xco sx cos2x = cos2x − sin2 x.

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, drugi z tych wzorów możemy zapisać w postaci

co s2x = 2cos2 x− 1 = 1 − 2sin2 x.

Wzory te bardzo często występują w zadaniach szkolnych, więc warto wyrobić sobie nawyk, że jak widzimy prawą stronę któregoś z tych wzorów, to dzwoni nam dzwoneczek sin 2x / cos 2x .

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji f(x) = sin 3x cos3x .
Ze wzoru na sin2x mamy

f (x) = sin3x cos 3x = 1sin 6x. 2

A więc zbiór wartości funkcji f to przedział 1 1 ⟨− 2,2⟩ (bo zbiór wartości sin 6x to przedział ⟨− 1,1⟩ ).

Rozwiążmy równanie sin 2x = co s2x .
Ze wzoru na cos 2x , możemy równanie przekształcić następująco

cos2x − sin2 x = 0 cos2x = 0 π π kπ 2x = -- + kπ ⇐ ⇒ x = --+ ---, k ∈ C . 2 4 2

Sumy i różnice kątów Wzory trochę ogólniejsze od wzorów na sinus/cosinus podwojonego kąta:

sin (x + y) = sin xcos y+ sin y cosx sin (x − y) = sin xcos y− sin y cosx cos(x + y) = co sx cosy − sin xsin y cos(x − y) = co sx cosy + sin xsin y.

W zasadzie wystarczy pamiętać tylko pierwszy i trzeci z tych wzorów, dwa pozostałe dostajemy wstawiając do nich − y zamiast y .

Oczywiste zastosowanie tych wzorów to możliwość obliczenia funkcji trygonometrycznych kąta x + y jeżeli znamy funkcje kątów x i y .

Obliczmy sin75 ∘ .
Liczymy

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ sin 75 √=--sin√(30-+√ 45 ) =√ sin 3√0-co s45 + sin45 cos 30 = 1 2 2 3 2+ 6 = --⋅----+ ----⋅ ----= ---------. 2 2 2 2 4

Uzasadnij, że jeżeli cosx = 0 to sin (x+ y) = sin(x − y) .
Na mocy powyższych wzorów mamy

sin (x+ y) = sin xcos y+ sin y cosx = sin x cosy sin (x− y) = sin xcos y− sin y cosx = sin x cosy = sin (x+ y).

Sumy i różnice funkcji Ostatnia seria wzorków to wzory na sumy i różnice sinusów/cosinusów.

x + y x − y sinx + sin y = 2 sin ------cos ------ 2 2 sinx − sin y = 2 sin x-−-y-cos x-+-y- 2 2 x-+-y- x-−-y- cos x+ cosy = 2co s 2 cos 2 x+ y x − y cos x− cosy = − 2sin ------sin ------. 2 2

Wzory te są bardzo użyteczne w równaniach i nierównościach, gdyż pozwalają zamieniać równania typu suma równa 0, na równania typu iloczyn równy 0, a te drugie rozwiązuje się o wiele łatwiej.

Rozwiążmy równanie cos4x − cos2x = 0 .
Z wzoru na różnicę cosinusów mamy

− 2 sin 3x sinx = 0.

Czyli 3x = kπ lub x = kπ . Stąd kπ-- x = 3 , k ∈ C .

Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.
Zaloguj się Informacje o abonamencie
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 7,90 zł lub telefonicznie 9,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.